2つずつペアにして偶数と奇数に出会い、数列のリズムを読み解こう。
山を半分に分けてぴったり等しくなる場合と、いつも1つだけ余ってしまう場合がある。その1つの事実が、数の世界全体を2つの仲間に分ける — 偶数と奇数だ。使うのはもっとも古い道具：対応づけ、つまりレッスン1.1で数を数えたときと同じペア作りだ。2つずつペアにできるようになると、2つの仲間が完璧に交互に入れ替わることが見えてくる。そして、ペアを実際に作る必要すらない — 一番最後の桁が答えを教えてくれる。そこからさらに一歩進めば、すべてのパターンの根っこにある大きなアイデアにたどり着く：数列が一定のステップで増えていることを見つければ、どこまでも続けられる。
クッキーを一握り手に持って、2枚のお皿に1つずつ交互に配っていくことを想像しよう。配り終えたとき、起こりうることは2つだけだ。2枚のお皿がぴったり等しくなって箱が空になるか、最後の1枚のクッキーにパートナーがいなくて一方のお皿に1つ余るか。それがすべてのアイデアだ。
ものをペアに分けて余りがないとき、その数は偶数と呼ぶ。できるだけペアを作ったあとに1つだけ残るとき、その数は奇数だ。7でやってみよう。
7は3つのペアを作り、1つのコインにパートナーがいない — だから7は奇数だ。8にすると余りが消える：きれいに4つのペア、1人ぼっちはいない、だから8は偶数だ。ルールは厳密で、中間はない：すべての整数はどちらか一方で、両方にはなれない。
ものを2つずつペアにしよう。ぴったりペアになって余りなし → 偶数。 1つだけ残る → 奇数。 余りのコインが現れるのは数が奇数のときだけ — それが判定法だ。
ゼロはどうだろう？ゼロ個のものはゼロ個のペアを作り、余りはない。だから0は偶数 — ルールにぴったり当てはまる。下のパイアーを動かして、赤いコインが点灯したり消えたりするのを見よう：1、3、5、7…で現れ、0、2、4、6…で消える。
7つのコインをペアにするのは簡単だ。128個となると大変だし、4,596個では絶対にやらないだろう。すばらしいショートカットがある — やらなくていいのだ。一の位だけが決める。一の位を見て、左側はすべて無視しよう。
なぜそれで通用するのか？10のまとまりは2つの5で構成されている — 10はきれいに5つのペアに分かれるので、10のまとまりがいくつあっても余りは出ない。百の位も、十の位も、余りにはまったく貢献しない。ペアにできない余りは一の位からしか出てこない。だから、数全体の偶奇は一の位の偶奇とまったく同じになる。
一の位が0、2、4、6、または8なら、その数は偶数だ。一の位が1、3、5、7、または9なら奇数だ。ほかの桁はまったく関係ない。
128は偶数か奇数か？一の位は8で、8は偶数 — だから128は偶数だ。4,596は？末尾が6だから、やはり偶数だ。4,591は？末尾が1だから奇数だ。コインを1つもペアにしなかった。
下の検出器は数を読み取り、一の位を丸で囲んで、実際に一の位をペアにした結果と照合する — 2つの答えは常に一致する。それがこのショートカットが正しい理由そのものだ。
偶奇は一の位だけで決まる。128は末尾が8だから偶数 — 先頭に奇数っぽい1があっても関係ない。「偶数」は数が「偶数っぽく見える」や「きりのいい数」を意味するのではない。ぴったりペアになるということだ。先頭の桁はここでは何もしない。
自然数を順に進んでいくと、2つの仲間が厳密に交互に現れる：1は奇数、2は偶数、3は奇数、4は偶数、飛び越しも繰り返しもなく続く。奇数、偶数、奇数、偶数 — 一定の交互リズムで、決して崩れない。
ペアの考え方からすると当然だ：1つ加えるたびに、孤独な余りにパートナーを与えるか（奇数が偶数になる）、新しい余りを作るか（偶数が奇数になる）のどちらかだ。だから1歩進むたびに仲間が入れ替わる。下のストリップは各数をその偶奇で色分けしている — 左から右に読んでいくと、リズムがほとんど聞こえてくるようだ。
偶数を順番に数えると、1つおきに飛ばしている：2、4、6、8、10、12……奇数もその間で同じことをしている：1、3、5、7、9、11……どちらのリストも2ずつ増えている — それが次のアイデアだ。
数列とは、順番に並んだ数のリストのことだ：2、4、6、8、……。続けるコツは、一定のステップを見つけること — 各数から次の数に行くために足す同じ量だ。2、4、6、8では、ステップは常に+2：2から4が+2、4から6が+2、と続く。ステップが一定だとわかれば、次の項は謎でも何でもない — ステップをもう一度足すだけだ。
ステップは2でなくてもよい。5ずつ数えれば — 5、10、15、20 — ステップは+5だし、10ずつなら — 10、20、30 — +10だ。ステップが何であれ、コツは同じ：一度見つけたら、それを繰り返す。下でステップと始まりの数を選ぼう。ウィジェットが最初の項を描いて、次の2つを緑色で見せてくれるので予測と照らし合わせよう。
数列を続けるには、連続する項の間の一定のステップを見つけて、それをまた足せばいい。2ずつ数えると偶数か奇数が得られる。どんな固定量でも、一定の予測可能なパターンが作れる。
4つの小さなルール、すべて1つの絵から来ている — 2つずつペアにすること。
| アイデア | ルール | すぐわかる |
|---|---|---|
| 偶数 | ぴったりペアになり、余りなし | 0, 2, 4, 6, 8 … |
| 奇数 | ペアの後に1つだけ残る | 1, 3, 5, 7, 9 … |
| ショートカット | 一の位だけが偶奇を決める | 末尾が0/2/4/6/8 → 偶数 |
| リズム | 1を足すと仲間が入れ替わる | 奇数、偶数、奇数、偶数 … |
| 数列 | 一定のステップを見つけて繰り返す | 2, 4, 6, 8 … (+2) |
6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップしよう。
このレッスンは、暗記した桁のリストではなく一対一の対応づけから偶数と奇数の区別を構築する。これは2.OA.C.3（20以下のものの集まりが奇数個か偶数個かを判定する；ものをペアにするか、2つずつ数える）の基礎だ。一の位のショートカットは、ただ述べるのではなくきちんと正当化されている — 10のまとまりはすべて均等にペアになるので、パートナーが残るのは一の位だけだ。2、4、6、8……の一定ステップに関する締めくくりの作業は、パターンを分析してルールから数列を生成することを導入し、4.OA.C.5（与えられたルールに従う数のパターンを生成し、パターンの特徴に気づく）を支援する。家庭では、カードやおやつを2枚のお皿に配って「均等になった？」と聞いてみよう — 余ったカードがすべてのアイデアだ。