直線から平面へ、平面から平面へ――段階を踏んで上り下りする平行の世界。
前の授業では空間の文法——点・直線・平面——を学び、「ねじれ」という新しい言葉に出会った。今度はその文法を、最も親しみやすい関係に使ってみよう：平行だ。平面上では「平行」といえば交わらない2直線だけを意味した。空間に出ると、仲間が増える：直線と平面の平行、そして2つの平面の平行。すばらしいのは、すべてに同じ考え方が働き、はしごを上り下りできることだ——直線∥直線から直線∥平面へ、平面∥平面へ、そして戻れる。空間で「平行を証明せよ」と言われたら、ほとんどがこのはしごを短くたどるだけで解ける。
直線 l と平面 α の位置関係はちょうど3通りある（28.5 で整理した）：直線が平面に含まれる、1点で交わる、またはまったく交わらない。この最後の場合——共有点がまったくない——を l ∥ α（直線と平面の平行）と呼ぶ。
無限に広がる平面に対して、直線が「交わらない」ことをどうやって証明するのか？無限の彼方まで調べて「共有点なし」を確かめることはできない。だから判定条件が必要だ——有限の範囲で確認できて、直線が絶対に平面に届かないことを保証するもの。それがこれで、驚くほどシンプルだ。
直線 l が平面 α の外側にあり、かつ α 内のある直線 m に l が平行であれば、l ∥ α。一言でいうと：平面内に平行な相棒を1本見つける。
なぜ相棒1本で決まるのか？ l ∥ m、m ⊂ α と仮定しよう。平行な2直線は同一平面上にあるので、l と m はある平面——β と呼ぼう——に一緒に含まれる。ここで背理法として、l が α と点 P で交わると仮定する。P は l 上にあるから β にも属し、また α にも属する。つまり P は β と α の交線——つまり m 自体——の上にある。しかし、そうすると l と m が交わることになり、l ∥ m に矛盾する。よって l は α と交わらない：l ∥ α。∎
外側にあるという条件は省略できない。α に含まれる直線も「α 内のある直線に平行」ではある（自分自身や平行な直線に対して）が、α に平行ではない——それは平面の一部だ。平行とは共有点がないこと；平面内の直線はすべての点を共有している。だから常に2つを確認しよう：平面内に相棒があり、かつ直線自体が平面の外にある。
立方体は平行な直線の宝庫なので、判定条件を確かめやすい。下で立方体のいくつかの直線と平面の組合せを選んでみよう。どれが合格し、どの2つが不合格で、なぜ不合格なのかに注目しよう。
判定条件は平行な相棒を使って平行を作り出す。性質はその逆だ：直線が平面に平行だとわかれば、今度は平行な相棒を好きなだけ取り出せる。
l ∥ α のとき、l を含む平面 β が α と直線 m で交わるならば、l ∥ m。一言でいうと：直線を含む平面はどれも、α から平行な相棒を切り出す。
証明はほぼ同じ背理法を逆向きに読むだけだ。直線 m は β 内にあり（β と α の交線だから）、l も β 内にある。同じ平面内の2直線は交わるか平行かのどちらかだ。もし交わるなら、その交点は l 上かつ m ⊂ α 上にある——つまり l が α に触れることになり、l ∥ α に矛盾する。交わらず同一平面上にあるから、l ∥ m。∎
水平なテーブルの上に本を立てる。本の上端はテーブル面に平行だ（決して下がってテーブルに触れない）。次に厚紙を斜めに傾けて上端に立てかけ、テーブルにも接するように置く——この厚紙が上端を含む平面 β だ。厚紙がテーブルと接する折れ目がまさに m であり、それは本の上端と平行に走る。性質が、実際に見る前からそれを保証している。
一段上がろう。空間内の2つの異なる平面は、どちらか一方しかしない（28.5）：1直線で交わるか、まったく交わらないか——「まったく交わらない」が β ∥ α（2平面の平行、たとえば床と天井）だ。ここでも有限の判定条件が必要だ——2つの無限平面を追いかけて交わらないかどうかを確かめることはできないから。
今度は平行な直線1本では足りない。平面 β が α に平行な直線を1本含んでいても、傾いて α を斜めに切ることができる——その直線は当たらなくても、β の残りの部分が切り込む。2つの方向を固定する必要がある。
平面 β が交わる2直線 a と b を含み、それぞれが平面 α に平行であれば、β ∥ α。一言でいうと：α に平行で交わる2本の相棒が、平面全体を平行に固定する。
なぜ2本で、なぜ交わる必要があるのか？交わる2直線は平面の傾きを完全に固定する——平面内のすべての方向を張る。その2方向がともに α に平行ならば、β は α に向かって傾く余地がなく、2平面は交われない。もし交わるとしたら直線 c で交わるはずだ。すると c は β 内にあるが、a と b はそれぞれ α に平行だから α 上の c と交われない……注意深く追うと、a ∥ b でない限り a、b、c は β 内に共存できない——「交わる」に矛盾する。よって交線は存在せず、β ∥ α。∎
α に平行な2本の平行線では不十分——それは1方向しか固定せず、平面はその方向を軸に回転して α を切ることができる。2本の相棒直線が交わる必要があり、そうして2つの独立な方向を釘付けにする。1本、または平行な2本では失敗；交わる2本で成功。
性質は一段下りる。平行な2平面を第3の平面で切ると、第3の平面はそれぞれから直線を切り出す。その2本の直線はただ直線なだけでなく、互いに平行だ——食パンをきれいに切り通したとき、現れる2本の平行な切り口のように。
α ∥ β のとき、第3の平面 γ が両方を切り、α と a、β と b で交わるならば、a ∥ b。また、平行な2平面はどこでも同じ距離を保つ。
証明は、見えてしまえば一行で終わる。a と b はともに同じ切断平面 γ 内にあるから同一平面上にある——交わるか平行かのどちらかだ。もし交わるなら、その交点は α（a 上にある）にも β（b 上にある）にも同時に属することになる——しかし α ∥ β には共有点がない。よって交われない：a ∥ b。∎ 等距離という事実は、一方の平面から垂線を下ろすとどこでも同じ高さで他方に届くことからわかる。
下では、上面と下面が平行な立方体に第3の平面を動かしながら当ててみよう。どこで切っても、2本の交線は常に平行になる——判定結果が方向の一致を確かめている。
ここが醍醐味だ。4つの事実を積み重ねると、自由に上り下りできる平行のはしごが得られる：
これを戦略として読もう。難しい空間図形で2直線の平行を証明するには、平面に上がる方が楽なことが多い：各直線が共通の平面に平行であることを示すか、平行な2平面を切る平面を探す。直線と平面の平行を証明するには、その平面内の平行な相棒を1本探す（判定条件）。2平面の平行を証明するには、一方の中で交わる2直線を見つけ、それぞれが他方に平行であることを示す（判定条件）。すべての技は、どの段に飛び乗るかを選ぶことにある。
主張。立方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ において、A₁、B、D を通る平面が C₁ を通る平面に平行……いや、シンプルにしよう：辺 A₁B₁ は平面 DCC₁D₁ に平行であることを示す。
リレー。目標の平面 DCC₁D₁ の中に相棒を探す。辺 D₁C₁ がその中にあり、A₁B₁ ∥ D₁C₁（どちらも立方体の上面の辺で、等しく平行——面 A₁B₁C₁D₁ は正方形）。A₁B₁ は平面 DCC₁D₁ の外側にあり、かつその内側の直線と平行なので、直線∥平面の判定条件により A₁B₁ ∥ 平面 DCC₁D₁。相棒1本、はしご一段——完了。
4つの事実、はしごの2段。それぞれの判定条件は平行な相棒から平行を作り出し、それぞれの性質は平行から相棒を読み出す。平面∥平面の判定条件で一番重い仕事をする一語は交わるだ。
| 関係 | 判定条件（作る） | 性質（使う） |
|---|---|---|
| 直線 ∥ 平面 l ∥ α |
l が α の外側にあり、α 内のある m に l ∥ m ⇒ l ∥ α | l を含む平面が α と m で交われば l ∥ m |
| 平面 ∥ 平面 β ∥ α |
β 内の交わる2直線がそれぞれ ∥ α ⇒ β ∥ α | 第3の平面が切ると平行線 a ∥ b；等距離を保つ |
| はしご | 上る——判定条件 | 下る——性質 |
|---|---|---|
| 直線∥直線 ⇄ 直線∥平面 | 平面内の相棒1本 | 直線を含む平面はどれも相棒を切り出す |
| 直線∥平面 ⇄ 平面∥平面 | 交わる相棒2本 | 第3の平面が平行な2直線を切り出す |
1つの習慣を持ち帰ろう：空間図形で平行の証明を求められたら、どの段が一番安いかを問う。たいていは「平面内の平行な直線を1本見つける」だ。次の授業、28.7 — 空間における垂直では「平行」を「直角」に替え、判定条件はあの有名なものに鋭くなる：直線 ⊥ 平面 ⟺ その中の交わる2直線に ⊥。
直線∥平面の判定条件を完全に述べ、人々が忘れやすい一語を指摘し、それを省くとなぜ致命的かを説明せよ。
判定条件：直線 l が平面 α の外側にあり、α 内のある直線 m に平行であれば、l ∥ α。忘れられやすい語は外側。それがなければ、α に含まれる直線も α 内に平行な相棒を持てる——しかしその直線は α に平行ではなく、α の一部だ（共有点がゼロではなくすべての点を共有する）。
平面 β が、平面 α に平行な直線 a を1本含んでいる。必ず β ∥ α か？説明せよ。
いいえ。平行な直線1本は β の1方向しか固定しない。平面 β は a の方向を軸に回転して α を斜めに切ることができ、a 自体は当たらなくても残りの部分が交わる。β ∥ α を強制するには、β 内の交わる2直線がそれぞれ α に平行である必要がある。（平行な2本の相棒でも失敗——それでも1方向だけだ。）
立方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ において、辺 B₁C₁ が底面 ABCD に平行であることを証明せよ。
面 ABCD の中に辺 BC がある。正方形の面 BCC₁B₁ において、辺 B₁C₁ と BC は対辺だから B₁C₁ ∥ BC。B₁C₁ は面 ABCD の外側にあり（辺1本分だけ上にある）、BC ⊂ ABCD と平行だから、直線∥平面の判定条件により B₁C₁ ∥ 平面 ABCD。
平面 α と β は平行である。平面 γ が α と直線 a、β と直線 b で交わる；第2の平面 δ が α と直線 p、β と直線 q で交わる。a, b, p, q について何がいえるか？
γ に平面∥平面の性質を適用して：a ∥ b。δ に適用して：p ∥ q。ペア (a,b) と (p,q) が互いに平行である必要はない——異なる切断平面は異なる方向を切り出す。よって平行線のペアが2組得られる（切断平面ごとに1組）が、ペアをまたいだ関係は強制されない。
立方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ において、上面 A₁B₁C₁D₁ が下面 ABCD に平行であることを示せ——「立方体だから」ではなく判定条件を使って。
上面から交わる2辺 A₁B₁ と A₁D₁（A₁ で交わる）を選ぶ。練習問題と同様の推論で A₁B₁ ∥ AB、A₁D₁ ∥ AD であり、AB, AD は下面内にある——だから A₁B₁、A₁D₁ はそれぞれ平面 ABCD に平行。上面の交わる2直線がそれぞれ下面に平行 ⇒ 平面∥平面の判定条件により A₁B₁C₁D₁ ∥ ABCD。
リレー挑戦。直線 l と n がそれぞれ平面 α に平行である。l ∥ n は成り立つか？成り立たない場合、3通りの可能性を答えよ。
いいえ。「同じ平面に平行」は2直線が互いに平行であることを強制しない——それはただ α への傾きを禁じるだけだ。2直線は平行でも、交わっていても、ねじれの位置にあってもよい。（テーブルの上に角度を変えて水平に持つ2本の鉛筆を想像しよう：どちらもテーブルに平行だが、交わることも、平行になることも、ねじれることもある。）はしごが綺麗に上れるのは、判定条件が求める追加の材料を揃えたときだけだ。
6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップしてね。
この授業は空間図形の平行関係を展開する：直線と平面の平行、2平面の平行、それぞれの判定条件と性質、そして直線∥直線・直線∥平面・平面∥平面の間を行き来する「変換リレー」。高校幾何の G-CO（合同と幾何証明の論理を三次元に拡張）の中核に位置し、G-GMD と G-MG が頼る空間的推論——体積・断面・モデリング——を支える。重点は証明の規律に置く——すべての主張は「共有点がない」に帰着し、短い背理法で決着する——そのため注意点（直線は平面の外側になければならない；平面∥平面の判定条件は交わる2直線を必要とする）が、まさに生徒が省略しがちな条件になっている。次の授業 28.7 は垂直についてすべてを鏡写しにし、Stage 29 では空間ベクトルの内積一計算で同じ事実を再導出する。