直線をまっすぐ立て、本を開く — 直角で空間を測る。
平行は、どこまで延ばしても交わらない直線や平面の話だった。垂直はその逆の発想 — できるだけ直角に交わる直線や平面の話だ。旗竿は地面からまっすぐ立ち、壁は床から垂直に立ち、テーブルに開いた本は実際に測れる角度をつくる。このレッスンでは、そういう日常の場面をそれぞれ厳密な判定法に変える。すべての核心は、驚くほど厳格な一つの考え方にある：直線が平面に垂直なのは、平面の1本の直線に垂直なときではなく、交わる2本の直線に垂直なときだ。その一つの判定から、二面角・垂直な2平面・点と平面の距離が導かれ、Stage 29 で待ち受けるベクトル法への扉が静かに開く。
まず2本の直線から始めよう。平面では2直線が90°で交わるとき垂直と呼んだ。空間では交わる場所の条件が少し緩くなる：2直線がなす角が90°のとき垂直という — 28.5 で学んだように、2直線のなす角は一方を平行移動してもう一方に重ねてから測る。だから2直線はねじれの位置にあって実際には交わらなくても垂直になれる：部屋の中で、東西に走る床の端と遠い壁の垂直な辺は90°の角をなすが、2本は互いにどこにも近づかない。
さて、レッスンの核心へ。直線全体が平面全体に垂直になるのはいつか？旗竿を地面に刺した瞬間を思い浮かべよう。地面に糸を一方向に置いて確かめる：竿はその糸に垂直だ。よし — でも横に傾いた竿でも1本の地面の直線（傾いた方向の真下を走るもの）には垂直になれる。正直な判定はもっと多くを要求する：
直線 l が平面 α に垂直であることは、α 内の交わる2本の直線に垂直であることと同値。それが成り立てば、l は α のすべての直線に自動的に垂直になる。l ⊥ α と書く。
なぜ2本の直線が交わる必要があるのか？交わる2直線は平面全体を確定する — ある一点から歩ける2つの異なる方向のようなもので、平面内の他のすべての方向はその2つの組み合わせだ。l が両方の基本方向に垂直なら、その任意の組み合わせにも垂直、つまり平面内のすべての直線に垂直になる。一方、平行な2本の床の直線は1方向しか示さない；傾いた竿はその一方向には垂直になれても、もう一方向には傾いたままでいられる。
立方体でこの判定が合格・不合格になる様子を見よう。底面を机の上に置いた立方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ を考える。辺 AA₁ は頂点 A からまっすぐ上に延びる。A を通る底面の2直線は AB と AD — これらは A で交わる。内積を計算すると AA₁ · AB = 0、AA₁ · AD = 0。両方が直角で、2本の底辺が交わるので、AA₁ ⊥ 平面ABCD。下のスライダーでは斜め線 AD₁ も試せる：AB には垂直（内積0）だが AD には垂直でない — だから床を斜めに突き抜け、平面に垂直ではない。
平面の1本の直線に垂直なだけでは不十分 — 傾いた直線でもそれは可能だ。交わる2本の直線が必要。そして2本は必ず交わること：平行な2本では1方向しか示せず、抜け穴を塞げない。
判定は平面への垂線を見分ける方法を教えてくれる。性質はそのような直線がどう振る舞うかを教えてくれる。最もシンプルな性質で、なじみのある場面がある：水平な広場のすべての旗竿は同じ向きに立つ — まっすぐ上に。それぞれが地面に直角に固定されているので、互いに傾き合うことができない。
2本の直線がそれぞれ同じ平面に垂直ならば、その2直線は互いに平行。また、空間内の任意の点を通って与えられた平面に垂直な直線はちょうど1本だけ存在する。
立方体ではひと目で分かる：AA₁ と DD₁ はともに底面 ABCD に垂直（どちらも2本の底辺と直角に交わる垂直な辺）で、確かに AA₁ ∥ DD₁ — 同じ面の向かい合う垂直な辺だ。4本の垂直な辺すべてに同じことが言える：4本の直線、どれも床に垂直、すべて平行。「ちょうど1本」という部分は、下ろした錘が一つの定まった方向に落ち着く理由と、角錐の高さが1本の明確な線分であって複数ではない理由を説明する。
共通の辺を持つ2つの半平面は二面角をなす。本の背で綴じられた2つの表紙、部屋の隅で交わる2枚の壁、ノートパソコンの開いた画面と底面、といった場面だ。しかしここに微妙な点がある：本がどれだけ「開いている」かは、2つの面内の任意の2本の直線から読み取ることはできない。目を傾ければ、大きく開いた本がほぼ閉じているように見える。視点によらない測り方が必要だ。
辺上の一点を選ぶ。各面でその点から辺に垂直な半直線を引く。その2本の半直線がなす角が二面角の平面角 — 辺上のどの点を選んでも同じ値になる。[0°, 180°] のその数値が二面角の大きさだ。
「辺に垂直」という条件がすべての鍵だ。両方の半直線は辺を直角に切る平面内にあるので、読み取る角度は本の本当の開き具合 — 見る方向によらない。下の蝶番を閉じた状態から平らに向けてドラッグしよう：読み取り値が90°になったとき2つの面は垂直な平面になり、それが次の節への橋渡しになる。
二面角は辺に垂直な半直線で測る — 面内に適当に引いた2本の直線ではない。面内の斜めの2直線はほぼどんな角度も作れる；辺に垂直な半直線だけが真の開き具合を与える。
2平面がなす二面角が90°のとき垂直という — 壁が床から直角に立ち上がるように、一方が他方からまっすぐ上に立つ状態だ。二面角を半直線ごとに確認するのは手間がかかる。そこで幾何は、垂直な直線1本だけを使うショートカットを用意している。
平面 β が平面 α に垂直な直線を含むならば、β ⊥ α。（平面内の1本の垂直な直線が平面全体を垂直に引き上げる。）
立方体で確かめよう：側面 ABB₁A₁ は辺 AA₁ を含み、AA₁ ⊥ 底面ABCD はすでに示した。だから側面は底面に垂直 — 壁は床と90°で交わり、部屋としてあるべき状態だ。立方体のすべての側面が同じ理由で底面に垂直になる。
逆もまた有用だ。2平面が垂直だと分かっているとき、平面への垂線を作り出すことができる：
β ⊥ α で2平面が直線 m で交わるとき、β 内のm に垂直な任意の直線は平面 α 全体に垂直になる。
四角錐 P-ABCD の頂点 P は一辺 6 の正方形の底面の中心 O の真上にあり、PO = 4。PO ⊥ 底面（O を通る底面の2本の対角線に垂直）なので、線分 PO が錐の高さ。頂点と底辺の中点 M を通る平面 POM は、垂直な直線 PO を含むので底面に垂直。その底辺への斜面の長さは PM = √(PO² + OM²) = √(4² + 3²) = √25 = 5 — 垂直性によって正当化された、きれいな直角三角形の計算。
点から平面までの距離はどれだけか？「適当な斜面に沿って」ではない — 距離は常に最短経路を意味し、空間で平面への最短経路は垂線だ。
点 P から平面 α に垂線を下ろし、足 F に着く。線分 PF の長さが P から α への距離。P から平面への他のどの線分も、脚 PF を持つ直角三角形の斜辺になるので、より長い。
最後の一文が PF が最短であることの証明全体だ：Q が平面の他の点なら、三角形 PFQ は F に直角を持つ（PF ⊥ α により PF ⊥ FQ）ので、PQ は斜辺となり毎回脚 PF より長くなる。図は立方体で示している：A₁A は A₁ から底面への垂線で、足は A、斜めの A₁B は明らかに長い。
同じ考え方が垂線から構成される他の距離も測る：平行な2平面の間の距離は一方から他方への垂直線分の長さ（28.6 で見たようにどこでも同じ）；点から直線への距離はその直線に下ろした垂線；角錐の高さは頂点から底面への垂線。垂直性は普遍的な物差しだ。
ここまでのすべての結果を動かしてきたものを振り返ろう。直線が平面に垂直であることを示すために、交わる2本の直線を探して2つの直角を確認した。二面角を求めるために、辺に垂直な2本の補助半直線を構成した。純粋な幾何学は機能するが、そのつど正しい補助線を見つけることを要求する — それが本当に難しいこともある。
もっと落ち着いた方法がやってくる。Stage 29 · 空間ベクトルでは部屋に座標軸を置き、すべての点が三つ組 (x, y, z) となり、すべての直線と平面がベクトルで書かれた方向を持つ。するとの「垂直」は探し物ではなく一行の計算になる：2方向が垂直であることは、その内積が0であることと同値。ここで手で証明した事実 — AA₁ · AB = 0 かつ AA₁ · AD = 0 ⇒ AA₁ ⊥ 平面ABCD — はすでに内積の言葉に変装している。純粋幾何学の章が閉じ、空間の代数が開く。同じ真理、算術で決着。
直角を道具に変える5つの事実。「2」という言葉が何度登場するか注目 — それが空間における垂直の秘密の全部だ。
| 考え方 | ルール | なぜ成り立つか／落とし穴 |
|---|---|---|
| 直線⊥平面（判定） | l ⊥ α ⇔ l が α の交わる2直線に⊥ | 交わる2直線が平面を確定する；1本への垂直では不十分。 |
| 直線⊥平面（性質） | 同じ平面に⊥な2直線は平行 | 両方とも等しくまっすぐ立つ；ある点を通る⊥線はちょうど1本。 |
| 二面角 | 各面で辺に⊥な半直線 → 平面角 | 辺に⊥でないと角度が違う；選ぶ点によらない。 |
| 平面⊥平面 | β が α への⊥線を含む ⇒ β ⊥ α；逆：共通の辺に⊥ ⇒ 他の平面に⊥ | 1本の垂直な直線が平面全体を垂直に立てる（二面角=90°）。 |
| 点から平面への距離 | 足への垂直線分の長さ | 最短；斜めの線分はすべて斜辺なので長い。 |
次は：Stage 29 · 空間ベクトル。座標が「垂直」を「内積=0」に変え、ここで手作りした証明が一行の計算になる。
直線 l が平面 α 内の2本の直線に垂直なのに、l は α に垂直でないことが分かった。その2本の直線についてどんなことが言えるか？
その2本は平行（または同一直線）でなければならない。判定は平面の交わる2直線を要求する。平行な2直線は1方向しか示さず、斜めの直線はその1方向には垂直でも、平面の別の方向に傾いたままでいられる。
立方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ で、辺 DD₁ が垂直な平面を1つ挙げ、交わる2直線を使って正当化せよ。
DD₁ ⊥ 底面ABCD。D を通る底面には交わる2辺 DA と DC がある；垂直な辺 DD₁ はそれぞれに垂直（どちらの内積も0）で、2辺は D で交わるので DD₁ は底面全体に垂直。（対称性より上面 A₁B₁C₁D₁ にも垂直。）
部屋の一つの隅で2枚の壁と床が交わっている。そこにある3つの二面角のうち、何個が直角か。また各「壁⊥床」の事実は何に基づくか。
3つすべての二面角が90°：壁と床（2か所）、壁と壁（1か所）。各壁は床に垂直な垂直な辺を含む（隅で2本の床の直線と直角に交わる）。判定により各壁⊥床；2枚の壁はその垂直な辺を共有しているので、同じ理由で互いに垂直になる。
一辺 8 の正方形の底面を持つ正四角錐の頂点 P は底面の中心 O から高さ 3 の位置にある。斜面の長さ — P から底辺の中点 M への距離 — を求めよ。
PO ⊥ 底面 なので OM にも垂直、つまり三角形 POM は O で直角。OM = ½·8 = 4（中心から辺の中点まで）、PO = 3 なので、斜面の長さは PM = √(3² + 4²) = √25 = 5。
点 P は平面 α から垂直距離 12 の位置にある。α 内の点 Q はその垂線の足 F から 5 の距離にある。斜めの線分 PQ の長さはいくらか、またなぜ距離より長いのか。
PF ⊥ α なので FQ にも垂直、三角形 PFQ は F で直角。よって PQ = √(12² + 5²) = √169 = 13。距離 PF = 12 より長いのは、PQ が斜辺で PF が脚だから — 垂線は常に平面への最短経路。
「辺 m 沿いの二面角を測るために、m 上の一点から各面に適当な直線を引いてその角度を測った。」誤りを指摘し、正しい手順を述べよ。
誤り：2つの面内の任意の直線はほぼどんな角度も作れるので、その数値は意味をなさない。正しい手順：辺 m 上の一点から各面にm に垂直な半直線を引く；その2本の半直線がなす角が二面角の平面角で、m 上のどの点を選んでも変わらない。
6問で定着を確認しよう。正しいと思う答えをタップして。
このレッスンは空間における純粋幾何学の扱いを締めくくる。2次元と3次元の関係を視覚化する CCSS G-GMD、垂直と角の正確な定義を扱う G-CO に対応し、高さ・斜高・垂直線分から構成される距離を扱う G-MG につながる。核心となる考え方は一つ — 平面への垂線に関する「交わる2直線」判定；二面角の平面角と点と平面の距離はどちらもそこから導かれる。すべての図は実際の3Dエンジンで描画されており、直角の正方形と二面角の弧は正直な射影で、読み取り値の内積は計算されたもので、主張でない。Stage 29 · 空間ベクトルの準備にもなっており、同じ事実が座標を使って再導出され、「内積がゼロ」という条件に変わる。