最も「直角」な交差 — そして点から直線への最短経路。
2本の直線の交わり方はいろいろあるが、その中でも特別なものがある：4つの角がすべてちょうど90°になる直角の交差だ。この1つのアイデア — 垂直 — はあらゆる場所に潜んでいる。水平に対する「まっすぐ上」、図形の高さを正確に測ること、ドアや本やタイルのすべての角。そしてこれは、ただの線分では答えられない問いに答えてくれる：この点はあの直線からどれだけ離れているか？ そこへの最短経路は常に直角に横切って走る — そしてその経路には、このレッスンで学ぶ名前がある。
14.1 では、2本の直線が交わると4つの角が一体の家族を作ることを学んだ：対頂角は等しく、直線上で隣り合う角は180°を足して一直線になる（隣接する補角の関係）。ほとんどの交差は偏っている — 広い角の向かいに広い角、狭い角の向かいに狭い角。しかし、4つの角のうちたった1つがちょうど 90° になるまで、1本の直線を傾けてみよう。
14.1 の規則を当てはめてみよう。1つの角が90°なら、直線上でその隣の角は補角の関係から 180° − 90° = 90° になる。最初の角の向かいは対頂角なので同じく90° — そして最後の角も対頂角として90°になる。1つの直角がすべての4つを決める。
このように2本の直線が交わるとき、それらを垂直と呼び、記号 ⊥ で表す：
AB ⊥ CD
「AB は CD に垂直」と読む。交わる点を垂足と呼ぶ。図の中では「90°」を4回書くことはせず、1つの角に小さな正方形を描くだけでよい — そのたった1つのマークで、交差全体が直角であることを読者に伝えられる。
2本の直線が 90° の角で交わるとき、それらは垂直（⊥）である。4つの角のうち1つを確認すれば十分 — 残りは自動的に90°に固定される。交わる点を垂足と呼ぶ。
任意の直線を1本選び、点を1つ選ぼう — 点は直線の上にあっても、離れていてもよい。ここに、静かに力強い事実がある：
その点を通って与えられた直線に垂直な直線はただ1本しかない。
ただ1本は同時に2つのことを意味する：そのような垂線は少なくとも1本必ず存在し、さらに2本目を見つけることはできない。三角定規を使って感覚をつかんでみよう：直角の角を定規に沿わせてスライドさせ、立った辺が目印の点を通るまで動かす。うまくいく位置は1つだけで、それだけだ。少しでもずらすと辺が点を外れてしまう。
2つの場合で図の見た目は少し異なる。点が直線の上にあるとき、垂線はそこから旗竿のようにまっすぐ立ち上がる。点が直線から離れているとき、垂線は下に伸びて直線上の1点 — 垂足 — に触れる。この垂線を引く操作を垂線を下ろすと言う。
「この点を通る垂線は何本引けるか？」答えはいつも同じ：1本。0本でも2本でもなく — ちょうど1本。点が直線上にあっても離れていても同じだ。
今度は直線 l の上方に点 P を置き、実践的な問いを立てよう：P から直線に向かって引けるすべての線分のうち、どれが最短か？ 左斜めに1本、右斜めにもう1本 — それぞれが直線への小さなスロープだ。下端をスライドさせると、スロープの長さは変わり続ける。
明確な勝者がいる。最短の線分は、直線に直角で交わるもの — 点 F（P の真下の垂足）に降りる垂線分 PF だ。斜めの線分 PQ はいずれも、辺が PF と直線上の F から Q までの部分からなる直角三角形の斜辺になる。斜辺は辺 PF より常に長い。まっすぐ横切る道がすべての斜め道に勝つ。
直線から離れた点から、その直線への垂線分はすべての斜線分より短い。その長さが得られる最小値 — そしてその最小値こそ、私たちが距離と呼ぶものになる。
以前、2点間の距離を学んだ：単に2点を結ぶ線分の長さだ。しかし「点から直線までの距離」は注意が必要だ。なぜなら直線は無数の線分を提供するから。今ちょうど見つけた勝者でそれを決める：
点と直線の距離は、その点から直線への垂線分の長さである。
垂線を選ぶのには正当な理由がある — それが最短だからだ。だから「どれだけ離れているか？」という問いへの公正で唯一の答えになる。斜めの線分を選べば距離を過大評価することになる。また興味深い端のケースがある：点がたまたま直線の上にあれば、垂足はその点自身になり、垂線分は長さ0に縮み、距離は0となる。
点 → 点：2点を結ぶ線分の長さ。
点 → 直線：垂線分の長さ — 90° でまっすぐ横に測る。
これはまさに現実の測定のやり方だ。ソフトボール選手がベースライン上に立っていて「フェンスから何フィート」と言うとき — フェンスに対して直角にまっすぐ測るのであって、斜めの対角線ではない。ダイバーの水面からの高さ、橋の下のクリアランス、道路の幅：それぞれが垂直距離だ。なぜならそれが正直で最短の間隔だから。
直線 AB と CD が交わり、4つの角のうち1つが 90° だとわかった。他の3つの角は何度か、また直線についてどんなことが書けるか？
他の3つの角はすべて 90°（補角から 180° − 90° = 90°、対頂角はそれぞれの向かいをコピーする）。よって AB ⊥ CD。
1つの点を通って、与えられた直線に垂直な直線は何本引けるか？
ただ1本 — 点が直線上にあっても外にあっても同じ。
直線から離れた点から、垂線分と斜め線分の両方を直線へ引いた。どちらが短いか？
垂線分の方が短い。すべての斜め線分は、垂線分を辺とする直角三角形の斜辺になる。斜辺は辺より常に長い。
空欄を埋めよ：「点と直線の距離は、点から直線への ______ の長さである。」
垂線分（直線と直角に交わる線分）。
点 P から直線 l への垂線分は 5 単位の長さで、P から l への斜め線分は 7 単位の長さだ。P から l までの距離はいくらか？
5 単位。直線への距離は常に垂線分の長さ — 7単位の斜め線分は長すぎるので対象外だ。
正しいか誤りか？ 直線の上にある点からその直線までの距離は0である。
正しい。垂足がその点自身になるため、垂線分の長さは0となる。
6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップしてね。
このレッスンでは、14.1 で学んだ角の一家族をひとつの強力な特殊ケース — 直角の交差 — に絞り込み、それを使って本当に新しい測定概念「点と直線の距離」を定義する。一貫したテーマは「1つの直角がすべての4つを決める」であり、続いて垂線の存在と一意性、そして距離の定義を正当化する最小化の性質を扱う。
注意が必要な誤概念は、垂線の代わりに斜めに沿って点と直線の距離を測ることだ。生徒はよく、描かれた線分や「合理的に見える」ものを選んでしまう。直線への距離とは定義上最短の線分であり、最短は常に垂線分であることを強調しよう。最短ウィジェットは最小値を可視化するために作られている：斜め線分が距離と等しくなるのは、ちょうど垂足に落ちたときだけだ。
Common Core との対応：4.G.A.1（垂直な直線の作図と識別）、7.G（幾何図形と角度の推論）、高校水準 G-CO.A.1（垂直な直線の精密な定義）、G-CO.D.12（点を通る直線への垂線の作図）。垂線の一意性と「垂線分が最短」という性質は、後の距離・高さ・座標幾何学での点と直線の距離に関する学習の基礎となる。