たった1つの鍵ですべての場合を解く — 距離と半径を比べるだけ。
点は円に対してどんな位置関係にあるか？直線は？もう1つの円は？3つの別々の問いに見えるが、答えのカギはどれも同じ：距離を測り、半径と比べる。 rより近いか、ちょうどrか、rより遠いか — この1つの比較で、点は3通り、直線は3通り、2つの円は5通りに分類できる。この習慣を身につければ、すべての場合が一目瞭然になる。おまけに、まったく同じ考え方が「3点が円を1つだけ決める理由」と「三角形には必ず1つだけ外接円がある理由」も教えてくれる。
以下では、O を円の中心、r を半径とし、円を ⊙O と表す。扱う量はつねに距離だけ — そしてやることはいつもその距離を r と比べるだけ。この図を頭に入れておけば、以下は何も驚くことがない。
任意の点 P を取り、中心 O までの距離 d を測る。起こりうることはちょうど3通りあり、d と r の比較がどれかを決める：
| P の位置 | 判定 | イメージ |
|---|---|---|
| 円の内部 | d < r | 円周よりもOに近い |
| 円周上 | d = r | ちょうど円周上 |
| 円の外部 | d > r | 円周より遠い |
円とは d = r を満たす点の集合に他ならない — それが円の定義だ。それより近い点（d < r）はすべて内部の円板を埋め、それより遠い点（d > r）はすべて外部になる。合わせると、円板（円周＋内部）はちょうど d ≤ r の領域だ。
半径 r = 6 の円がある。点 P が中心から 4 の距離にあるとき、d = 4 < 6 = r なので、P は円の内部にある。P が中心から 9 なら 9 > 6 なので外部；ちょうど 6 なら円周上に乗る。
直線は点より「広い」ので、どの距離を測るか注意が必要だ。正しいのは、中心 O から直線 ℓ への垂直距離 d — O から直線へ最も短い道のりで、直角に交わる。その d を r と比べると、やはり3通りになる：
| 名称 | 判定 | 共有点の数 |
|---|---|---|
| 離れている（交わらない） | d > r | 0 |
| 接線（接する） | d = r | 1 |
| 割線（2点で交わる） | d < r | 2 |
注目すべきは共有点の数だ。直線が中心から r より遠ければ、円周に届かず 共有点なし（0点）。ちょうど r なら1か所で接するだけ — 接線、この境界ケースはレッスン18.5で詳しく扱う。r より近ければ一方から入り反対側へ抜ける — 割線で2点を共有する。（d < r のとき、2つの交点は垂線の足から ±√(r² − d²) の位置にある — 18.1の弦の定理から直接導ける。）
点の場合、d は O までの直線距離。直線の場合、d は O からの垂直距離 — 直線上の適当な点までの距離ではない。直線がある箇所で円に非常に近くても、最短距離が r を超えていれば離れていることになる。
r = 5 とする。O からの垂直距離が 5 の直線は d = r なので接線 — 共有点は1つ。距離が 2 なら d = 2 < 5 なので割線 — 共有点は2つで、垂線の足から ±√(5² − 2²) = ±√21 ≈ ±4.58 の位置にある。
今度は2つの円を考える — 半径 R と r（R ≥ r とする）、中心間距離 D。比較は2つになる：D を和 R + r および差 R − r と比べる。この2つの比較から5通りの位置関係が生まれる：
| 位置関係 | 判定 | 共有点の数 |
|---|---|---|
| 外側に離れている | D > R + r | 0 |
| 外接 | D = R + r | 1 |
| 2点で交わる | R − r < D < R + r | 2 |
| 内接 | D = R − r | 1 |
| 一方が他方の内部 | D < R − r | 0 |
旅として読もう。最初は円が遠く離れている（外側に離れている、0点）。小さい方を近づけると、円周が初めて外側から触れる瞬間 D = R + r — 外接、1点。さらに近づけると円周が重なり2点で交わる — 2点で交わる。もっと近づけると小さい円の円周が大きい円の内側から触れる：D = R − r — 内接、再び1点。さらに押し込むと小さい円が丸ごと飲み込まれる — 一方が他方の内部、0点。（D = 0 なら中心が一致；半径が異なれば同心円だ。）
半径 R = 5、r = 3 の2つの円があり、R + r = 8、R − r = 2。中心間距離が 10 なら D = 10 > 8 — 外側に離れている。距離が 2 なら D = 2 = R − r — 内接（小さい円が大きい円に内側から接する）。D = 6 なら 2 < 6 < 8 なので2点で交わる。
同じ考え方 — 中心からの距離が等しい — が、一見別の問いに答えてくれる：1つの円を定めるには何点が必要か？
1点だけでは無数の円が描ける — 中心をどこにでも置いて半径を合わせればよい。2点 A、B を通る場合でも無数ある：両点を通る円の中心は A と B から等距離でなければならないので、中心は AB の垂直二等分線上のどの点でもよい — 選択肢は直線1本分だ。しかし A、B を含む直線上にない3番目の点 C を定めると、自由度は消える。
その理由は次の通り。中心は A と B から等距離なので AB の垂直二等分線上にある。同様に B と C から等距離なので BC の垂直二等分線上にもある。平行でない2本の直線はちょうど1点で交わる — それを外心と呼ぶ。その1点が A、B、C の3点から等距離なので、3点を通る唯一の円の中心になる。半径はその共通距離だ。
一直線上にない3点はちょうど1つの円を定める。その中心が外心 — 各辺の垂直二等分線が交わる点 — で、その円が三角形の外接円だ。したがって、すべての三角形にはその3頂点を通る円がちょうど1つ存在する。
3点が一直線上にある場合はどうか？ AB と BC の垂直二等分線がどちらもその直線に垂直なので平行になり、交わらない — 中心は存在せず、一直線上の3点を通る円はない。
点でも、直線でも、もう1つの円でも — すべての位置問題は同じ問いの変装だ：適切な距離を求めて r と比べる（2円の場合は R + r と R − r と比べる）。共有点の数はそこから自動的に出てくる。
レッスン全体を貫く比較は1つ — 距離を半径と比べること。
| 問い | 比べる距離 | 場合の数（共有点） |
|---|---|---|
| 点 P と円 | d = OP（O への直線距離） | 内部 d<r · 上 d=r · 外部 d>r |
| 直線 ℓ と円 | d = O から ℓ への垂直距離 | 離れている d>r (0) · 接線 d=r (1) · 割線 d<r (2) |
| 2円（R, r）、中心間距離 D | D を R + r および R − r と比べる | 外側に離れている (0) · 外接 (1) · 2点で交わる (2) · 内接 (1) · 一方が内部 (0) |
半径 6 の円の中心から 4 の距離に点 P がある。P は円の内部、円周上、外部のどこにあるか？
d と r を比べる：4 < 6 なので、P は円の内部にある。
半径 5 の円の中心から（垂直距離で）5 の位置に直線がある。円との共有点はいくつか、またこの直線は何と呼ばれるか？
d = 5 = r なので、この直線は接線 — 共有点はちょうど1つ。
半径 3 と 5 の2つの円があり、中心間距離が 10。2円はどんな位置関係にあるか？
R + r = 5 + 3 = 8。D = 10 > 8 なので、2円は外側に離れている — 共有点は0。
半径 4 と 6 の2つの円があり、中心間距離が 2。2円はどんな位置関係にあるか？
R − r = 6 − 4 = 2。D = 2 = R − r なので、2円は内接 — 小さい円が大きい円に内側から接し、共有点は1つ。
一直線上にない3点を通る円はいくつあるか？理由も答えよ。
ちょうど1つ。中心は3点すべてから等距離でなければならないので、各辺の垂直二等分線上にある。2本の二等分線が1点 — 外心 — で交わり、これが唯一の円を定める。
半径 5 の円の中心から 2 の距離に直線がある。共有点はいくつか、また垂線の足からどこにあるか？
d = 2 < 5 = r なので割線で共有点は2つ。垂線の足から ±√(r² − d²) = ±√(25 − 4) = ±√21 ≈ ±4.58 の位置にある。
6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップ。
このレッスン全体は1つの動作を3回繰り返す：正しい距離を測り、半径と比べる。この1つの習慣が、教科書が別々の場合の列挙として提示しがちな3つのテーマを統一する。生徒には、判断に入る前に必ず距離を言葉で定義させよう（「d は O から直線への垂線の長さ」「D は2つの中心間の距離」など）— この問題のほとんどのミスは計算ではなく、測る対象を間違えることから来る。
3つの落とし穴が繰り返し現れる。第一に、直線の場合に直線上の適当な点までの距離を比べてしまい、O への垂直距離を使わない。第二に、2円の図で第5の場合 — 一方が他方に完全に内包される場合（D < R − r、共有点はやはり0）を見落とし、「交わる」に含めてしまう。第三に、どんな3点でも円を定めると思い込む；一直線上の3点はそうではない（垂直二等分線が平行になり交わらないため）。
このレッスンは、コモンコア基準 G-C.A.2（直線と円の関係）、G-C.A.3（三角形の内接円と外接円の作図；外心）、G-CO.D.12（形式的な幾何学的作図）に対応する。また、接線 — 境界となる d = r の場合 — の性質・判定・三角形の内接円を扱うレッスン18.5への橋渡しにもなる。