円の周上に立つと、見える角は中心から見た角のちょうど半分になります。
中心角は的の中心から見た眺めでした。今度は周上まで歩いて出て、同じ弧を振り返ってみましょう。そこで見える角はちょうど半分になります。この一つの事実——円周角の定理——が円の幾何学の核心です。そこから美しい結果が次々と生まれます：弧の上のどの点からも、向こうの弧は同じ角度で見える。直径をまたいで見た角は完全な直角になる（タレスの定理）。そして円に内接する四角形では、向かい合う角の和が一直線（180°）になる。この授業は、この先の段階のすべての土台になります。
中心角については18.2で学びました：頂点が中心Oにあり、両辺が半径で、その大きさは切り取る弧の大きさと等しい。ここでは頂点が動きます。頂点を円周上まで移動させると、新しい種類の角——円周角——が現れ、中心角とのあいだにすっきりした驚くべき関係が成り立ちます。この授業の内容はすべて、一つの定理とその四つの顔です。
円周角は頂点が円周上にあり、両辺が二本の弦です。それが対応する弧——「開いて向かう」弧——は、その二本の弦のあいだに切り取られる弧で、頂点を含まない方の弧です。
二つの図を並べて見てください。中心角 ∠AOC は中心Oにあり、両辺は二本の半径です。円周角 ∠ABC は周上の点Bにあり、両辺は二本の弦です。どちらも同じ弧ACを「見て」いますが、まったく異なる場所から見ています。
円周角：頂点が円周上にあり、両辺はともに弦。その弦のあいだに挟まれた弧——頂点から遠い方の弧——に対応します。頂点を中心に移せば中心角になります。
下の図で、頂点Bを上の弧に沿ってドラッグしてみましょう。Bが動いても円周角がどう変わるかを見て——同じ弧に対する中心角が変わらないことにも注目してください。
覚えるべき定理はこれです：
同じ弧ACに対して、円周角は中心角の半分：
∠ABC = 12 ∠AOC = 12 · (弧AC)。
なぜそうなるのでしょうか？まず最も単純なケースから考えます——円周角の一辺が中心を通り、B・O・Aが一直線に並ぶ場合です。半径OCを引きます。すると△OBCは OB = OC = r（どちらも半径）なので二等辺三角形となり、底角が等しくなります：∠OBC = ∠OCB。それぞれを x とおけば——この x がまさに円周角 ∠ABC です。
中心角 ∠AOC は△OBCのOにおける外角であり、外角は二つの遠い内角の和に等しい（三角形の幾何学の事実）。その二つの内角はどちらも x なので、
∠AOC = x + x = 2x = 2 · ∠ABC。 2で割ると： ∠ABC = 12 ∠AOC。
弧ACが 100° であるとします。すると中心角 ∠AOC も100°で、その弧に対するすべての円周角は ½ · 100° = 50° ——頂点が円の残りのどこにあっても変わりません。
半分になるのは同じ弧を共有する角どうしの場合です。円周角と中心角が½対1の関係にあるのは、同じ弧を見ているときだけです。弧を混同すると関係は成り立ちません。
最初の図で起きたことをもう一度見てください：Bが上の弧に沿って動いても、円周角は 60° から一度も動きませんでした。これは偶然ではありません。ある弧に対するすべての円周角は、その弧に対する一つの中心角の半分——一定の値の半分はやはり一定の値です。
同じ弧に対するすべての円周角は等しい。頂点を向こうの弧のどこに置いても、弦ACに対して見える角は同じです。
これは測量士の秘訣であり、写真家の秘訣でもあります：一つの弧に沿ったどの位置からも、同じ弦は同じ角度で見えます。（逆に考えると深い発見が得られます：線分の同じ側にある二点が等しい角度でその線分を見ているなら、四点はすべて一つの円上にある——次のセクションで活躍する共円点の初めての味わいです。）
定理を特殊なケースに当てはめましょう。円周角が対応する弧がちょうど半円の場合——これはAとCが直径の両端になるときに起こります。すると中心角 ∠AOC は平角 180° となり、円周角は
∠ABC = 12 · 180° = 90°。
半円に内接する角はすべて直角です。ACが直径で、Bが円上の別の点であれば、∠ABC = 90°。逆も同様に有用です：∠ABC = 90° ならば、BはACを直径とする円上にあります。
この小さな宝石は実際に役立ちます。直角を作りたいですか？任意の直径を引いて円上の第三の点を取ればよい。接線の接点や垂線の足を探していますか？タレスの定理が位置を特定します。18.5でも再び使います。
四つの頂点がすべて一つの円上にある四角形を円に内接する四角形（円内接四角形）といいます。円内接四角形には美しいバランスがあります：
円内接四角形ABCDでは、向かい合う角は補角（和が180°）：
∠A + ∠C = 180° かつ ∠B + ∠D = 180°。
理由は円周角の定理から直接出てきます。Aでの角と Cでの角は、合わせて円全体を作る二つの弧に対する円周角です。それぞれの角はその弧の半分なので、
∠A + ∠C = 12(弧BCD) + 12(弧DAB) = 12 · 360° = 180°。
円内接四角形で ∠A = 95° とします。向かい合う角は自動的に決まります：∠C = 180° − 95° = 85°。∠B や ∠D を知らなくても求められます——対角はつねに一直線のペアになります。
下の頂点BとDを動かして、∠Aと∠Cが大きさを交換しながら和がぴったり180°に保たれるのを見てください。
一つの定理、四つの顔——すべて「円周角 = 半分」です：
| 事実 | 内容 |
|---|---|
| 円周角の定理 | ∠ABC = ½ ∠AOC = ½ · (弧AC) |
| 同弧の円周角 | 同じ弧に対する円周角はすべて 等しい |
| 半円（タレス） | 直径に対する円周角 = 90° |
| 円に内接する四角形 | 対角の和 = 180° |
円周角は周上に頂点を置き、両辺が弦；中心角は中心に頂点を置き、両辺が半径。同じ弧に対して、円周角は中心角のちょうど半分です。その一つの事実から：同弧の円周角は等しい（一定の角の半分は一定）、直径に対する円周角は直角（180°の半分）、そして円上の四角形の向かい合う角の和は一直線（360°の半分）。色を覚えておきましょう——琥珀色は中心角とその弧、緑は円周角と「= 90°」「= 180°」「等しい ✓」の結論すべてを表します。次の 18.4 では、すべての点・直線・第二の円を半径との一つの比較で分類します。
中心角が 80° のとき、同じ弧に対する円周角はいくつですか？
円周角 = ½ × 中心角 = ½ · 80° = 40°。
円周角が 35° のとき、同じ弧に対する中心角はいくつですか？
中心角 = 2 × 円周角 = 2 · 35° = 70°。（その弧も70°になります。）
円周角が直径に対応している（半円に内接している）場合、その大きさはいくつですか？
直径は180°の弧なので、円周角は ½ · 180° = 90° ——タレスの定理：半円に内接する角は直角です。
円に内接する四角形ABCDで、∠A = 95° のとき、∠Cを求めなさい。
円に内接する四角形の対角は補角なので、∠C = 180° − 95° = 85°。
二つの円周角が同じ弧に対応していて、一方が 50° のとき、もう一方はいくつですか？
同じく 50° ——同じ弧に対するすべての円周角は等しい。それぞれがその弧に対する一つの中心角の半分だからです。
円周角が 60° のとき、それが対応する弧の大きさはいくつですか？
弧の大きさ = 2 × 円周角 = 2 · 60° = 120°。（中心角も120°で、円周角はその半分です。）
6問で定着させましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
この授業の核となるアイデアは一つの広範な定理です：円周角は同じ弧に対する中心角の半分（∠ABC = ½ ∠AOC）。それ以外のすべて——同弧の円周角の等しさ、半円の直角（タレス）、円内接四角形の対角が補角——はその一行と「同じ弧」という言葉から再構成できる帰結です。証明は生徒がすでに持っているツールに基づいています：二本の半径を持つ三角形は二等辺三角形であり、中心角はその外角（よって底角の2倍）。「180°の半分」からタレスの定理を再導出させることは、思い出させるよりも理解の確認として優れています。
防ぐべき二つの誤り：(1) ½を忘れる——円周角＝中心角と書いてしまう；(2) 間違った弧を使う——実際には異なる弧に対する二つの角に定理を適用してしまう（そこでは関係が成り立ちません）。三つ目の誤りは「弦が直径である」ことが半円の直角の条件であることに気づかないことです。計算する前に弧を声に出して確認するよう指導してください。
Common Core. この授業は G-C.A.2 ——「円周角・半径・弦の関係を特定・記述すること；中心角・円周角・外角の関係；直径に内接する円周角は直角；半径は交点で接線に垂直」——を扱い、円周角の定理、半円の直角、内接（円内接）四角形を含みます。18.2の中心角と弧度の学習の直後に位置し、18.5の接線と内接円の構成へと続きます。