扉を逆向きに開けよう：平行線は等しいF角（同位角）・等しいZ角（錯角）・和が180°のU角（同側内角）を与えてくれます。
前のレッスンでは角度を使って2直線が平行であることを証明しました。今度は鍵を反対に回します：直線が平行であると仮定して、その結果を読み取るのです。同じ3つのペアを使います — 同位角（F角）・錯角（Z角）・同側内角（U角） — ただし今回は平行が与えられた条件で、等しい角が報酬です。両方向の扉をイメージしてください：平行を入れると、等角が出てくる。平行な交点で1つの角がわかれば、8つ全部がわかります。この1つの事実が、これから解くほぼすべての角度問題を動かすエンジンです。
まず核心から。もし a ∥ b ならば、横断線が作るすべての同位角のペアは等しい。これは 14.4 の判定条件1の逆です：そちらでは等しい同位角から平行を証明しましたが、ここでは平行な直線が等しい角をもたらします。同じ事実を反対方向に読んでいるのです。
2直線についている小さな「矢印」マーク（›）は、数学者が「これらの直線は平行です」と言う方法です。このマークが見えたら、測らなくても同位角のペアを等しいとして扱えます。
同位角の性質。 2本の平行線が横断線で切られるとき、同位角は等しい。
横断線が作る鋭角 θ を設定すると、8つの位置すべてが θ か 180 − θ のどちらかに揃います。2種類だけ。平行線が与えてくれるのはそれだけです。
次はZです。直線の内側に位置し、横断線の反対側にある2つの角 — 錯角のペア — も a ∥ b のとき等しいです。
これを別の事実として暗記する必要はありません — 1行で性質1から導けます。Z角の一方は同位角と対頂角の関係にあり、対頂角は等しいからです（14.1 参照）：
∠Z₁ = ∠(同位角) （同位角、a ∥ b）
∠(同位角) = ∠Z₂ （対頂角）
よって ∠Z₁ = ∠Z₂. 錯角は等しい。
3つ目のペアは違う動きをします — そしてこれが学生がよく忘れるものです。同側内角のペア（U：どちらも内側で横断線の同じ側）は等しくない。代わりに2つの角の和が180° — 補角になります。
なぜ等しくなく180°なのか？一方の同側内角は θ で、もう一方は直線上の隣の角 180 − θ です。足すと：θ + (180 − θ) = 180°。直線がすべてを解決します。
| 角のペア | 判定条件 (14.4)：角 ⇒ 平行 | 性質 (14.5)：平行 ⇒ 角 |
|---|---|---|
| 同位角 (F) | equal ⇒ ∥ | ∥ ⇒ equal |
| 錯角 (Z) | equal ⇒ ∥ | ∥ ⇒ equal |
| 同側内角 (U) | 和180° ⇒ ∥ | ∥ ⇒ 和180° |
同位角と錯角は等しい；同側内角は補角（和180°）であって等しくない。同側内角のペアを等しいとしてしまうのが、このステージで最もよくある間違いです。
上の表は、見た目がほぼ同じ2つのグループを並べています。違いはただ1つ、どちらの事実が条件か、そして何が結論かという点です。
同じ図で、矢印の向きが逆。下のトグルで確認してください：方向を切り替えると条件と結論が入れ替わります。
正当化されるのが判定条件だけのときに性質を使ってはいけません（逆も同様）。問題が直線の平行を述べていなければ、等角を仮定できません — まず平行を証明する必要があります。
もう1つの性質があります。横断線は不要です。ある直線が第2の直線に平行で、その第2が第3に平行ならば、第1は第3に平行です：
a ∥ b かつ b ∥ c ならば a ∥ c。
同じ直線に垂直な2直線は互いに平行です。（どちらも共通の直線と90°をなすので同位角が等しい — 判定条件1を適用。）
ここですべてが活きてきます。実際の問題では欲しい角が直接与えられることはほとんどありません；ルールを連鎖させます — 平行の性質、直線対、対頂角のステップなど — 1行ずつ根拠を示しながら、各ステップで使ったルールに名前をつけます。下の解法連鎖をたどってみましょう。
2直線が平行で横断線が切るとき、8つの角はたった2種類に集約されます：
a ∥ b が横断線で切られ、8つの角のうちの1つが 65°。8つすべての角の大きさを列挙してください。
2種類だけ：65°（4つ）と 115°（残り4つ、180 − 65 = 115）。直線を共有するペアはすべて和が180°。
a ∥ b。同側内角のペアが x と 70°。x を求めてください。
同側内角は補角：x + 70 = 180、よって x = 110°。
a ∥ b。錯角のペアが 3x と 60°。x を求めてください。
錯角は等しい：3x = 60、よって x = 20。
「等しい同位角」は判定条件ですか、それとも性質ですか？それぞれ何が条件になりますか？
方向によってどちらにもなります。判定条件として使う場合、条件は「同位角が等しい」で a ∥ b を結論づける。性質として使う場合、条件は「a ∥ b」で同位角が等しいことを結論づける。問題が最初に述べている事実が条件です。
a ∥ b かつ b ∥ c とします。a と c について何が言えますか？
a ∥ c — 平行は推移的。中間の直線 b が関係を伝えます。
a ∥ b。横断線が直線 a と 75° の角をなします。直線 b での角 ∠x は同位角の直線対の隣です。各ステップを名付けながら ∠x を求めてください。
b での同位角 = 75° （同位角、a ∥ b）。次に ∠x = 180 − 75 = 105° （直線対）。
6問で知識を固めましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンは14.4の逆で、要点は2つの方向を混同しないことです。判定条件は角 → 平行を導き、性質は平行 → 角を導きます。同じ3つのペア（同位角・錯角・同側内角）を共有するため、1つの事実として扱いたくなりますが、証明では何が条件で何が結論かを知らなければなりません。「両方向の扉」のイメージと横並びの表は、その区別を明確にするために作られています。
注意すべき特定の誤解：逆を混同すること — 判定条件しか正当化されないときに性質（等角を仮定）を使ったり、非平行な直線でも等角が成り立つかのように推論したりすること。そうではありません。同位角・錯角が等しくなるには平行の仮定が必要で、それなしでは何も保証されません。2番目によくある間違いは同側内角を等しいとすること — それらは補角で、和が180°です。
これは複数ステップの演繹的証明（reasonウィジェット）への最初の優しい入門であり、Stage 15の三角形の論証への準備となります。Common Core 8.G.A.5（横断線で切られた平行線の角の関係）および HS G-CO.C.9（直線と角の定理の証明、平行線と錯角の結果を含む）に対応しています。