分数はどこから生まれるのか、上と下の数が何を意味するのか、そして分数が数直線のどこに住んでいるのか。
整数は、まるごとのものを数えます――ピザ1枚、りんご3個、10ドル。けれど世界は、そんなにきれいには分かれてくれません。1枚のピザを4人の友だちで公平に分けると、一人ひとりが受け取るのは、ピザ1枚より少ないかけらです。そのかけらに名前をつけるには、新しい種類の数が必要です。分数こそがその答えです。分数は、1つの全体を等しい部分に分け、そのうちのいくつかを取り出したときに起きることを記録します。このレッスンでは、分数に出会い、上と下が何を語っているのかを学び、数直線上のぴったりの住所を見つけ、ひとつのかけらをくり返すことであらゆる分数を組み立て、そして真分数・仮分数・帯分数という言葉を学びます。
丸いピザが1枚と、おなかをすかせた友だちが4人いる場面を思い浮かべてください。公平にするために、ピザを4つの等しい切れに切ります――どの切れも同じ大きさです。さて、それぞれの友だちが1切れずつ取ると、「友だち一人はどれだけのピザをもらったの？」という問いに、ついに名前がつきます。4つの等しい部分のうちの1つ、書くと 14 で、「4分の1」と読みます。もし誰かが3切れをつかんだら、その人は4つの等しい部分のうち3つを取ったことになります――4分の3、34。
等しいという言葉が、すべての重みを支えています。分数は、部分が同じ大きさのときにだけ意味をもちます。ピザをばらばらの、まるで大きさのちがう4つのかけらに切り刻んでしまえば、そのどれ1つも「4分の1」ではありません――それがどれだけの量なのか、正直に言いあらわす手立てがないのです。まず等しい部分があってこそ、はじめてそれを数えられる。
分数 ab は「b 個の等しい部分のうちの a 個」を記録します。全体を b 個の等しいかけらに分け、そのうち a 個を取る、ということです。
部分は等しくなければなりません。同じ大きさの3つのかけらのうち1つは 13 ですが、いびつな3つのかけらのうち1つは、何かの3分の1ではありません――分数には公平な切り分けが必要です。
どの分数にも、短い横棒をはさんで上下に積まれた2つの数があり、それぞれがちがうことを教えてくれます。下の数は分母です。これは、全体がいくつの等しい部分に分けられたかを表します――つまり、1つのかけらの大きさを決めます。上の数は分子です。これは、そのかけらを実際にいくつ取ったかを数えます。その間の横棒は、公平な分け前をつくる包丁です。
ですから 38 では、下の8は全体が8分の1ずつ――8つの等しい切れ――になっていることを表し、上の3はそのうち3切れを持っていることを表します。下から読みましょう。「8分の1が、3つ」。下が大きいほどかけらは小さくなることに気づいてください。ピザの8分の1は4分の1より細い切れです。より多くの部分に切れば、それぞれが小さくなるからです。
25 では、全体は5つの等しい部分に分けられ、そのうち2つを取ります――5分の2。23 では、全体はわずか3つの部分に分けられ、そのうち2つを取ります――そして3分の2のほうが大きい量です。切る回数が少ないほどかけらは大きくなるからです。
分数は、塗られた図形であるだけではありません――数であり、すべての数と同じように、数直線上にぴったりの住所をもっています。それを見つけるには、0から1までのひとまたぎを見て、それをd個の等しい歩み（分母と同じd）に分けます。小さな1歩が、それらの等しい部分の1つです。さて、0からn歩進みましょう。たどり着いた場所が、分数 nd です。
たとえば 34 を置くには、0から1までを4つの等しい歩みに切り分けて、そのうち3つを取ります。1までの道のりの4分の3のところで止まります――真ん中の目印は通り過ぎ、まだ全体には届いていません。その1点こそが、4分の3という数そのものであり、塗られたパイが見せたのとちょうど同じ量なのです。
分数は数です。0から1までをd個の等しい歩みに分けると、n歩目で nd に着きます。数直線上で右にあるほど、大きい分数です。
すべての分数の中には、たった1つの組み立て部品が隠れています。上が1の分数――たとえば 14 ――は単位分数とよばれます。それは、1つだけの等しいかけらです。ほかのどの分数も、この同じかけらを積み重ねたものにすぎません。4分の3は、4分の1を3つ重ねたものにほかなりません。
34 = 14 + 14 + 14
だからこそ、分子はただ数えるだけなのです。nd は「単位分数 1d を n 個」という意味です。1つのかけらから始めて、その横にもう1つ、さらにもう1つと並べます――新しいかけらが上の数を1つずつ増やすいっぽうで、下（かけらの大きさ）は決して変わりません。
56 は 16 を5個。710 は 110 を7個。単位のかけらが分かれば、上の数は、それをいくつ並べるかを教えてくれるだけです。
もし上の数が下の数に届いたら――あるいは追い越したら――どうなるでしょう。何もこわれません。分数はただ、1つの全体ぴったり、あるいはそれ以上を表すだけです。3つの名前が、その場合分けを整理してくれます。分子が分母より小さいとき、たとえば 34 のように、その量は1つの全体より小さく――これが真分数です。分子が分母と同じか、それより大きいとき、たとえば 54 のように、その量は1つの全体ちょうど、あるいはそれ以上で――これが仮分数です。
仮分数はまったく正しいのですが、たいていは帯分数のほうが分かりやすく読めます。帯分数とは、整数が真分数にぴったり寄り添ったものです。4分の1を5つ重ねると、1本の全体の棒が埋まり（それには4つ使います）、4分の1が1つ余るので、54 = 114 です。これらは、まったく同じ量を名づけています――まるごとのピザ1枚と、もう1枚の4分の1。
54 は1つの全体より多い――それは 114 であって、「何もない中の小さな4分の1が5つ」ではありません。上が下を上回ったとき、あなたは1つの全体をあふれ出て、次の全体へ踏みこんでいるのです。
| 考え | 意味 | 例 |
|---|---|---|
| 分母（下） | 全体がいくつの等しい部分に切られているか――1つのかけらの大きさ | 34 の4 |
| 分子（上） | その等しい部分をいくつ取ったか | 34 の3 |
| 単位分数 | nd は 1d を n 個 | 34 = 14+14+14 |
| 数直線の上で | 0〜1をd歩に分け、n歩目が nd | 34 は4歩のうち3歩目にある |
| 真分数 / 仮分数 / 帯分数 | 上 < 下 は真分数、上 ≥ 下 は仮分数 = 帯分数 | 54 = 114 |
次は 同じ量の、ちがう見た目 で、もっと細かく切って、1つの量が等しい名前をいくつも持つことを発見します――12、24、36 はすべて同じ分数です。
板チョコが6つの等しいマスに割られ、あなたはそのうち5つを食べました。食べた分の分数を書き、その分子と分母を答えなさい。
あなたは 56 を食べました。分母の6は板チョコが6つの等しいマスに切られたことを表し、分子の5はそのうち5つを取ったことを表します。
円が3つのかけらに切られていますが、かけらの大きさはばらばらです。そのうちの1つを「3分の1」と呼べますか。説明しなさい。
いいえ。分数には等しい部分が必要です。3つのかけらは同じ大きさではないので、どの1つも3つの等しい部分のうちの1つではなく、したがってどれも 13 ではありません。
45 を単位分数の和として書きなさい。
45 = 15 + 15 + 15 + 15 ――単位分数の5分の1を4つです。
0から1までを8分の1ずつに分けた数直線で、58 は何歩目の点ですか。真ん中の目印を過ぎていますか。
8歩のうち5歩目です。真ん中は 48 なので、5歩目は真ん中の目印をちょうど過ぎたところです。
74 は真分数ですか、仮分数ですか。帯分数に書き直しなさい。
仮分数です（上の7 ≥ 下の4 なので、1つの全体より多い）。7つの4分の1で1つの全体（4分の1が4つ）が埋まり、3つ余ります：74 = 134。
1枚のピザの切れとして大きいのはどちらですか：5等分した1切れ（5分の1）か、3等分した1切れ（3分の1）か。理由は。
13 のほうが大きいです。少ない部分に切るほど、それぞれの部分は大きくなります：3分の1はピザを3つに、5分の1は5つに分けるので、5 > 3 であっても、3分の1のほうがどっしりした切れです。
しっかり定着させる6問です。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンは分数を「公平に分けること」として導入し、ab を大きさ 1/b の部分が a 個として（CCSS 3.NF.A.1）、また数直線上の点として（3.NF.A.2）、その核となる意味を組み立てます。分数を単位分数の和に分解することは4.NF.B.3.bを、仮分数を帯分数として名づけることは4.NF.B.3.cを育てます。いつも絵に立ち返ってください。下は等しい部分を数え、上はいくつ取ったかを数える――そして等しい部分は譲れない約束です。