細かく切るとピースは増えても量は同じ — 同値、既約分数、そして共通分母。
板チョコを友だちに渡して半分に割っても、4つに割って2つあげても、6つに割って3つあげても — どの渡し方でも、友だちが受け取るチョコの量はぴったり同じです。変わったのは切り方で、量は変わっていません。それがこのレッスンのすべてです。ひとつの量は、いろいろな分数で書くことができ、それらはみな等しいのです。これらの名前のあいだを行き来するには、たった一つの正直なことをします — 分子と分母を同じ数でかけるか、わるかです。そうすれば、分数をいちばん簡単で、いちばん小さい数の形まで約分できますし、二つの分数に共通の分母をあたえて、やっとそろえて比べたり、(次のレッスンで)たし算したりできるようになります。終わるころには、68 と 34 が一つの数の二つの顔だと読めるようになります。
半分を一つとって、まんなかでもう一度たたみます。それぞれの半分が二つに分かれるので、帯全体はいま4つの等しいピースになり — もとは1ピースだった色のついた部分が、いまは2つのピースになります。何も足していないし、取り除いてもいません。ナイフが下りた回数が増えただけです。だから2分の1と4分の2は、まったく同じ長さをおおいます: 12 = 24。もう一度たためば、6分の3になります。このように同じ量を表す分数を等しい分数（同値分数）といいます。
どのピースもk個の小さいピースに切ると、分母がk倍、分子がk倍になります。だから分子と分母を同じ数でかけると、等しい分数になるのです: ab = a × kb × k。絵がそれを証明します: ピースは増えても、色のついた量は同じです。
同じことを両方の数にしなければなりません。分子に1、分母に1をたすのはダメです: 12 を 23 にすると、それは等しい量ではなく、大きい量になってしまいます。分子と分母には、同じ数をかける（またはわる）ことしかできません。
同値は両方向にはたらきます。分子と分母を同じ数でかけると、見た目の大きい等しい分数になるなら、分子と分母を共通の約数でわると、見た目の小さい等しい分数になります。約分とは、まさにそれを、これ以上できなくなるまで — 分子と分母の両方をわりきる数が1だけになるまで — 行うことです。そのいちばん小さい数の形を既約分数（いちばん簡単な形）といいます。
68 を考えましょう。6も8も偶数なので、それぞれ2でわります: 68 = 34。いま3と4は1のほかに共通の約数がないので、ここで止めます。いちばん速い道は、分子と分母の最大公約数（gcd）で一気にわることです。小さい約数で少しずつ削っても、同じ場所にたどり着きます。
1218 を約分します。どちらも偶数 → 2でわる → 69。どちらも3の倍数 → 3でわる → 23。12と18の最大公約数は6で、6で一気にわっても同じ 23 にたどり着きます。
分母がちがう二つの分数は、切り方のちがう二つのグリッドのようなものです — ピースの大きさがちがうので、まだそろえられません。そろえるには、両方の分母が届けるピースの数が必要です。二つの分母の公倍数です。そのいちばん小さい数を最小公倍数（lcm）といい、それが新しい共通の分母になるときは最小公分母（lcd）とよびます。
2分の1の分母は 2, 4, 6, 8, … と並び、3分の1の分母は 3, 6, 9, 12, … と並びます。最初に共通するのは6なので、6分の1は、2分の1も3分の1もきれいに切り直せる大きさです。これで6は 12 と 13 の最小公分母になります。
共通分母とは、両方の分数を切り直せるピースの大きさです。最小公分母は二つの分母の最小公倍数 — そのいちばん小さい大きさで、数を小さく保ってくれます。
共通の分母がわかったら、§3.2.1の同値のきまりを使って、それぞれの分数をその分母に切り直します — もとの分母を新しい分母にする数を、分子と分母にかけるのです。12 と 13 を6分の形にするには: 2分の1は×3が必要で（2 → 6）36 になり、3分の1は×2が必要で（3 → 6）26 になります。これで両方が同じ大きさのピースではかられ、比べたり合わせたりできます。
34 と 56 を切り直します。4と6の最小公分母は12です。すると 34 = 912（×3）、56 = 1012（×2）。やっと同じ大きさのピースになりました。
これで、二つの分数のどちらが大きいかを決められます。3つの場合があります:
たとえば、23 と 35 ではどちらが大きいでしょう。両方を15分の形に切り直します: 23 = 1015、35 = 915。いま 10 > 9 なので、23 のほうが大きいです。
13 と 12 を「3 > 2 だから3分の1のほうが大きい」と判断してはいけません。分母が大きいということは、全体をより多くのピースに切ったということなので、ピース1つ1つは小さくなります。分子が同じなら、分母の小さいほうが大きい分数です。
| したいこと… | …こうする | 例 |
|---|---|---|
| 等しい分数をつくる | 分子と分母を同じ数で× | 12 = 36（×3） |
| 既約分数まで約分する | gcd = 1 になるまで分子と分母を÷ | 68 = 34 |
| 共通分母を見つける | 二つの分母の最小公倍数を使う | 2, 3 の最小公分母は 6 |
| 二つの分数を比べる | 共通分母にして、分子を比べる | 23 = 1015 > 915 = 35 |
| 絶対にしないこと | 分子と分母に同じ数をたす | 12 ≠ 23 |
あてはまる数を入れましょう: 34 = ?12。
分母は4から12になりました。これは×3なので、分子にも同じことをします: 3 × 3 = 9。だから 34 = 912。
1015 を既約分数まで約分しましょう。
10と15はどちらも5の倍数で、最大公約数は5です。分子と分母を5でわります: 1015 = 23。いま2と3は1のほかに共通の約数がないので、完全に約分されています。
14 と 16 の最小公分母は何ですか。両方を切り直しましょう。
4の倍数: 4, 8, 12, …、6の倍数: 6, 12, …。最初に共通するのは12なので、最小公分母は12です。すると 14 = 312（×3）、16 = 212（×2）。
34 と 58 では、どちらが大きいですか。
共通分母8をあたえます: 34 = 68。同じ分母で分子を比べると 6 > 5 なので、34 > 58。
クラスメイトが「25 = 36、だって分子に1、分母に1をたしたから」と書きました。どこがまちがっていますか。
同じ数をたすのは許されません — 量を等しく保つのは、かけるかわるかだけです。確かめると: 25 = 0.4 ですが 36 = 12 = 0.5 で、大きい量です。本当に等しい分数をつくるには、かけます: 25 = 410（×2）。
小さい順に並べましょう: 12, 23, 35。
2, 3, 5 の共通分母は30です: 12 = 1530、23 = 2030、35 = 1830。分子を比べると 15 < 18 < 20 なので、順番は 12 < 35 < 23。
しっかり身につけるための6問です。正しいと思う答えをタップしましょう。
このレッスンは、分数の同値と比較の流れをあつかいます: 等しい分数を見分けてつくり、図で比べること、分子と分母を同じ数でかけて等しい分数をつくること、そして共通分母（または共通分子）をつくって二つの分数を比べ、結果を >、<、= で表すことです。ページ上の色のついた帯、約分した形、共通分母、比較は、すべて同じ分数のしくみから計算されているので、図とことばはいつも一致します。ご家庭でのよい問いかけ: 「2分の1に等しい分数を、ちがう書き方で3つ書ける？」