中心に角を開くと、弧と弦が一緒に動く — 三つはいつも連動している。
円の中心に立って角を開いてみよう。その二辺は半径であり、向こう側には円周の一部 — 弧 — がある。角を広げると弧は伸び、その端を結ぶ直線の弦も伸びる。同じ円の中では、中心角・弧・弦の三つはひとつに結びついている：一つを知れば残りもわかる。このレッスンではその連動の仕組みを確かめ、さらに第四のパートナー — 中心から弦までの距離 — を加える。この連鎖は、この先のほとんどすべての円の証明の土台となる。
中心角とは、頂点が中心 O にあり、二辺が半径である角のことだ。A と B が半径と円の交点であるとき、∠AOB と書く。
角の内側にある円周の部分 — A から B に向かう近い側の弧 — が、この角が対する弧（弧を張る弧）である。（「対する」とは「下に立つ」という意味：角はその弧の上に立ち、弧を開いている。）二辺を広げると中心角と弧はともに大きくなり、閉じると両方が小さくなる。中心角と弧は同じ開きの二つの見方だ。
中心角は中心にあって、ちょうど一つの弧に対応する。角が大きい ⇒ 弧が長い — 同じ円では常にそうなる。
スライダーを動かして中心角を開いてみよう。橙色の弧と緑色の弦がともに大きくなるのを確認しよう。
弧はどのくらいの大きさか？一回転と同じように測る。円周全体を360 等分して、一周の一度あたりを一単位とする。すると弧の大きさは、その中心角の大きさと同じになる。90° の中心角は90° の弧に対応し、150° の中心角は150° の弧に対応する。弧と角は同じ数字を持つ。
弧には三種類ある。劣弧は 180° 未満（小さい方の弧）。半円はちょうど 180° — 直径が切り取る弧。優弧は 180° 超（大きい方の弧）。同じ二点上の劣弧と優弧を合わせると円周全体になるので、常に 360° になる：
劣弧 + 優弧 = 360°。
つまり劣弧が 110° なら、優弧は 360° − 110° = 250° となる。
弧の大きさ（度数）は弧の長さ（単位長）とは異なる。同じ 60° の弧でも、大きな円の方が小さな円より長い。大きさは円全体の何分の一かを表し、長さはレッスン 18.6 で扱う。
これがこのレッスンの核心だ。同じ円（または合同な円）の中で、次の三つの主張は完全に言い換えられる：
等しい中心角 ⇔ 等しい弧 ⇔ 等しい弦。
どれか一つが成り立てば他の二つも強制的に成り立つ。なぜか？二つのつながりは簡単だ。等しい弧は等しい中心角 — これは 18.2.2 の弧の大きさの定義そのものだ。興味深いのは弦とのつながりだ。
二つの中心角が等しいとする：∠AOB = ∠COD。三角形 △OAB と △OCD を見よう。それぞれ二辺が半径なので OA = OB = OC = OD = r であり、その間の角も等しい。二辺夾角（SAS）により △OAB ≅ △OCD。合同な三角形の第三辺は等しいので、弦も一致する：AB = CD。逆に等しい弦から SAS の逆（SSS）で等しい角を導けば、連鎖は完全な輪を閉じる。
⊙O において、二つの中心角がどちらも 70° であるとする。すると弧もそれぞれ 70° となり、弦は等しい — SAS により、二つの「半径・半径・角」三角形が合同だからだ。一つの等しさが三つすべてを決めた。
等しい中心角と等しくない中心角を切り替えよう。弧と弦がどう変わるか確認しよう。
この連鎖には第四のパートナーがある。弦の中心距離とは、中心 O から弦に垂直に下ろした距離 OM であり、交点 M は弦の中点になる。レッスン 18.1 で見たように、その垂線は斜辺 r の直角三角形を作るので、
弦の半分 = √(r² − OM²) ⇒ 弦が長いほど OM は小さい。
イメージしよう：長い弦は円の中央付近を横切るので、中心に近い（OM が小さい）。短い弦は円周の近くに寄り、中心から遠い（OM が大きい）。最も長い弦 — 直径 — は O を通るので、中心距離は 0 だ。これで連鎖がさらに一つ伸びる：
中心角が大きい ⇒ 弧が長い ⇒ 弦が長い ⇒ OM が小さい、
特に 等しい弦 ⇔ 等しい中心距離（長さが等しい弦は中心から同じ距離にある）。
r = 6 とする。90° の中心角は長さ 2·6·sin45° = 6√2 ≈ 8.49 の弦を作り、OM = √(36 − 18) = √18 ≈ 4.24 となる。角を 120° に広げると弦は 2·6·sin60° = 6√3 ≈ 10.39 に伸び、OM は 6·cos60° = 3 に縮む。弦が長くなると中心に近くなる — まさにその通りだ。
角を開こう。弦が長くなるにつれ、中心までの距離 OM が小さくなるのを見よう — 180° で弦が直径になると OM は 0 になる。
中心の一つの角がすべてを動かす：
中心角が大きい ⇒ 弧が長い ⇒ 弦が長い ⇒ 中心距離が小さい。どちらの方向にも読める。
中心角が 72° のとき、それが張る弧の大きさは？
72°。弧の大きさはその中心角の大きさに等しい。
劣弧が 110° のとき、同じ二点を持つ優弧の大きさを求めよ。
劣弧 + 優弧 = 360° より、優弧 = 360° − 110° = 250°。
円の中で二つの弦の長さが等しい。それらの弧と中心角について何が言えるか？
同じ円において、等しい弦 ⇒ 等しい弧と等しい中心角。等しい弦から合同な「半径・半径・弦」三角形（SSS）が作られ、はさまれた中心角が等しくなり、等しい中心角から等しい弧が得られる。
半径 6 の円において、90° の中心角が切り取る弦の長さを求めよ。
弦 = 2r·sin(½·90°) = 2·6·sin45° = 12·(√2⁄2) = 6√2 ≈ 8.49。
同じ円の二本の弦が中心から同じ距離にある。それらの長さは必ず等しいか？理由を説明せよ。
はい。弦の半分 = √(r² − OM²)；r と OM が両方とも同じなので、弦の半分が一致し、弦は等しい。等しい中心距離 ⇔ 等しい弦。
半円の中心角は____、半円を横切る弦は____。
180°、弦は直径（長さ 2r）— 最も長い弦で、中心距離は OM = 0。
6 問で理解を固めよう。正しいと思う答えをタップしよう。
このレッスンは一つの動く部品 — 中心角 — を機械全体に変える。角を開くと、弧・弦・中心距離がすべて連動して応答する。内面化すべき核心的な証明は SAS のステップだ：二本の半径とその間の角が弦を決定するので、等しい中心角 ⇔ 等しい弧 ⇔ 等しい弦 が同じ円において成立する。他のことはすべてこの連鎖を前向きまたは後ろ向きに読むことだ。
取り除くべき誤解は、弧の大きさと長さの混同だ。60° の弧は、小さな器の中でも大きなスタジアムでも 60° だが、二つの弧の長さはまったく違う。「大きさは一回転の割合であり、長さは単位があって半径に比例する（レッスン 18.6）」と繰り返して伝えよう。第二の落とし穴は距離についての直感だ：長い弦ほど中心から遠いと思いがちだ。弦の半分 = √(r² − OM²) に立ち戻ろう：弦が伸びると OM は縮まなければならず、直径（最長の弦）は中心を通って OM = 0 になる。
学習指導要領との対応：このレッスンは中心角・弧・弦の相互関係（弦の中心距離を含む）および弧の大きさが円全体の何分の一かに対応する内容を扱う。証明は Stage 15 の三角形の合同（SAS・SSS）とレッスン 18.1 の「中心からの垂線」の事実に基づいている。