すべての結果が等確率なら、「どれくらい起こりやすいか」は好ましい結果の数÷全体の数で決まります。だから、カギは数え方にあるのです。
レッスン 33.1 で公正なコインを千回投げると、表の出る頻度はある1つの数値—確率—に近づいていきました。これは公正なコインでも偏ったコインでも成り立ちます。しかし結果が等確率で起こるとき—公正なサイコロの6面、公正なコインの表裏、よくシャッフルされたトランプのすべての配り方—千回の試行はまったく必要ありません。ただ数えればよいのです。欲しい結果を列挙し、起こりうる結果すべてを列挙し、割り算する。これが確率の古典的モデル—この分野で最も古いアイデアです。そしてすべての確率の問いを数え方の問いに変えてくれます。それはまさに、Stage 32 でマスターした順列と組み合わせです。
公正なサイコロを投げても、どの面が出るかは事前に分かりません—それがレッスン 33.1 の「ランダム性」です。しかしここには偏ったコインにはない構造があります：どの面も他の面より有利ではないのです。サイコロは対称なので、対称性から6面それぞれが同じ確率を持つはずです。合計が1になる6等分なので、各面の確率は 1/6 です。
この対称性こそがすべての原動力です。モデルが古典的と呼ばれるには2つの条件が必要です：標本空間 Ω が有限であり、その中のすべての結果が等確率であること。公正なコイン（2通り）、公正なサイコロ（6通り）、よくシャッフルされたトランプ（すべての配り方が等確率）、すべてのボールが同一の宝くじの抽選機—これらすべてが当てはまります。覚えておくべき言葉は公平な土俵：どの結果も有利ではない、ということです。
古典的確率モデルには (1) 有限の標本空間 Ω、そして (2) すべての結果が等確率であることが必要です。このとき N 通りの結果それぞれの確率はちょうど 1/N になります。
まとめ。 対称性によってすべての結果が等確率になるとき、もはや実験で確率を推定する必要はありません。N 通りの結果それぞれがちょうど 1/N の確率を持ち、あとは数えるだけです。
事象 A は Ω の一部分にすぎません—「出た目が偶数」は {2, 4, 6} という部分集合です。すべての結果が同じ 1/N の価値を持つので、A の確率はその中に含まれる結果の個数をそれぞれ1回ずつ数えれば求まります：
P(A) = A に含まれる結果の数Ω に含まれる結果の数 = 好ましい結果の数全体の数
これが古典的公式です。分子はオレンジ（個数だから）、分母は青（比較対象となる事象空間の大きさだから）。「好ましい結果 ÷ 全体」と毎回声に出して読みましょう。
公正なサイコロを1回投げ、A = 「偶数が出る」とします。好ましい結果は {2, 4, 6} なので |A| = 3、|Ω| = 6。よって P(A) = 3/6 = 1/2。
公正なコインを2枚投げます。等確率の結果は HH, HT, TH, TT — 3通りではなく4通りです。A = 「表がちょうど1枚」= {HT, TH} とすると、P(A) = 2/4 = 1/2、P(表が2枚) = 1/4。「0枚・1枚・2枚」という3通りではなく、4通りのリストこそが結果を等確率にするのです。
次に、すべてを語る図を見てみましょう：2サイコロのグリッド。赤いサイコロと青いサイコロを投げると、6 × 6 = 36 通りの順序対はすべて等確率です（サイコロは区別できるので、(2, 5) と (5, 2) は異なる結果）。下で事象を選ぶと、公式が光ったマスを文字通り数えて確率を計算します—計算式が好ましい結果と全体の個数を返し、それを割り算します。
まとめ。 すべての結果が等確率なら、確率は帳簿付けです：P(A) = 好ましい結果の数 / 全体の数、どちらも正直に数えます—「合計 = 7」の事象なら 6/36 = 1/6 です。
「すべての結果を列挙する」のは36通りのサイコロの組なら問題ありませんが、トランプのカードや袋の中のビー玉のように総数が数百万にのぼる場合には無力です。そこで登場するのが Stage 32：組み合わせはリストを書かずに好ましい結果と全体の数を数える方法です。古典的な分数は C(n, k) の比になります。
基本的な例を見てみましょう。袋に赤3個と青2個のビー玉が入っています。2個同時に取り出します（順序は関係ない—一握りであって順列ではない）。2個とも赤である確率は？
一般的な形：袋に全部で N 個あり、そのうち「欲しい」ものが M 個、n 個取り出してちょうど k 個欲しいものを得る確率は：
P = C(M, k) · C(N−M, n−k)C(N, n)
M 個の欲しいものから k 個、N−M 個の欲しくないものから残りの n−k 個を選び、C(N, n) 通りの一握りで割ります。（これは超幾何分布の数え方で、レッスン 33.8 で本格的に登場します。）下のスライダーを動かすと、すべての個数が C(n, k) から直接計算されるのを確認できます。
リストが長すぎて書けないときは組み合わせで数えましょう。P = 好ましい C の値全体の C の値 — 分子も分母も C(n, k) で、目で読むのではありません。
まとめ。 古典的公式と Stage 32 の数え方は同じツールです：P(2個とも赤) = C(3, 2)/C(5, 2) = 3/10、そして組み合わせの形はどんな袋にも適用できます。
等確率の結果が無限にある場合はどうでしょう—的のどこかに必ず当たるダーツ、池のどこかに落とす小石？無限の点を数えることはできないので、「好ましい結果 ÷ 全体」には何も割るものがありません。しかし精神は生き続けます：個数を面積に置き換えるのです。着地点が領域 Ω の中で等確率なら、目標 T に着地する確率は面積比です：
P(T) = 目標の面積全体の領域の面積
これが幾何学的確率です。等確率の仮定が依然としてすべての働きをしています—「領域上で一様にランダムに」は「すべての結果が等確率」の面積版です。正方形の的に円形の目標を置く：一様なダーツが円に当たる確率は πr² を正方形の面積で割るだけです。
一辺4 m の正方形の池があり、中心に半径1 m の円形の蓮の葉が浮かんでいます。一様にランダムに落とした小石はどこに着地するでしょう？ P(蓮の葉に乗る) = π·1²4² = π/16 ≈ 0.196。確率は面積比、それだけです。
まとめ。 結果がリストではなく領域に広がるとき、個数を面積に置き換えましょう：P = 目標の面積 / 全体の面積 — 幾何学的確率は連続バージョンの古典的モデルです。
古典的公式はとても簡単なので、どこでも使いたくなります。しかし使用条件があります：割り算に使う結果は等確率でなければなりません。それを忘れると、分数は嘘をつきます。
有名な警告の物語があります：2人の子供がいる家族で、少なくとも1人が男の子だとわかった場合、2人とも男の子である確率は？ 不注意な数え方では：家族のパターンは BB, BG, GG — 「2人とも男の子」は3つのうち1つで 1/3… これは間違いです。BG は GG の2倍の確率だからです。男の子→女の子と女の子→男の子は異なる等確率の結果です。正直な標本空間は順序付きリスト BB, BG, GB, GG — 4つの等確率の結果です。
古典的公式 P = 好ましい結果の数/全体の数 は、列挙した結果が等確率のときにのみ有効です。2人の子供の家族を BB, BG, GG と書いて P(BB) = 1/3 と結論づけるのは古典的な落とし穴です—BG は GG の2倍の確率です。本当の等確率空間は BB, BG, GB, GG で、P(BB) = 1/4 となります。
同じ警告が「2つのサイコロの合計は 2…12 の11通りなので、それぞれの確率は 1/11」という主張も否定します。11通りの合計は等確率ではありません—合計7には6通りの方法があり、合計2には1通りしかありません。常に等確率の素結果（36通りの組）を数え、粗いリストは使わないようにしましょう。
まとめ。 割り算をする前に使用条件を確認しましょう：結果は本当に等確率ですか？そうでなければ、より細かく対称なリストに戻ってください—そうしないと真実が 1/4 のところで 1/3 と答えてしまいます。
| ツール | 公式 | 使う場面 |
|---|---|---|
| 古典的確率 | P(A) = 好ましい結果の数 / 全体の数 | Ω が有限で、すべての結果が等確率 |
| 部分の数え方 | C(M,k)·C(N−M,n−k) / C(N,n) | 一握りを取り出す — 組み合わせで数える（Stage 32） |
| 幾何学的確率 | P = 目標の面積 / 全体の面積 | 点が領域上に一様に着地する（無限に多い結果） |
| 使用条件の確認 | 結果は等確率ですか？ | 常に — BB/BG/GG ⇒ 1/3 は落とし穴；真実は 1/4 |
1つの文を持ち帰りましょう：古典的確率は変装した数え方です — 等確率の結果が「どれくらい？」を好ましい結果 ÷ 全体に変え、組み合わせが数え、結果が連続体のときは面積が数えます。次の レッスン 33.3 では、事象が組み合わさりはじめます — 「かつ」「または」「でない」 — そして確率は足し算を学びます。
6問で定着させましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンは確率の古典的（等確率）モデルを構築し、数え方によって確率を計算します — HSS-CP.A.1（事象を標本空間の部分集合として説明する）と HSS-CP.B.9（順列と組み合わせを使って複合事象の確率を計算する）に直接対応しています。2サイコロのグリッド、袋からの取り出し組み合わせウィジェット、面積比モデルはそれぞれコントロールから正直な数値を再計算し、確率は計算された個数であり、図から読み取る数値ではないことを生徒に示します。意図的な「2人の子供」の落とし穴は、確率論者が必要とする習慣を訓練します：好ましい結果を全体で割る前に、結果が本当に等確率であるかを確認する習慣です。加法定理（33.3）へ前進し、組み合わせ（Stage 32）へ後退する橋渡しをしています。