事象は集合です — ∩・∪・補事象で組み合わせ、確率を正確に足し合わせましょう。
前の2つのレッスンでは、事象は標本空間 Ω の部分集合であり、確率は「有利な結果の数÷全体の数」で求めました。しかし実際の問題では、1つの事象だけを問うことはほとんどありません。「雨かつ風」「ハートまたは絵札」「4回投げて少なくとも1回6の目」といった組み合わせを問います。嬉しいことに、事象は集合なので、Stage 19 · 集合の演算で学んだツール — 積事象 ∩、和事象 ∪、補事象 — がそのまま使えます。複合事象を集合として表せれば、2つの短い公式で確率を計算できます。
試行を「明日の天気」とし、同じ Ω 上に2つの事象を定義します：
集合演算として読むだけで、3つの新しい事象が自動的に得られます：
これらはStage 19のベン図とまったく同じですが、今は各領域が事象であり、（等確率のとき）各領域の面積の割合がその確率です。長ったらしい問いを A ∩ B、A ∪ B、Ā として表すことが、問題を解く最初の一手です。
事象は標本空間 Ω 上の集合です。「かつ」は積事象 A ∩ B、「または」は和事象 A ∪ B、「でない」は補事象 Ā。言葉を集合に翻訳すれば、図がすべてを教えてくれます。
まとめ。「かつ / または / でない」という問いはすべて Ω 上の集合演算です。まず領域を名付ければ、確率はその割合から求められます。
事象の間には2つの重要な関係があり、それぞれ公式を単純化してくれます。
2つの事象が同じ試行で同時に起こり得ないとき、互いに排反といいます — 積事象が空集合です：
A ∩ B = ∅
ベン図の円は重なりません。1つのサイコロを投げるとき、「偶数」と「5の目」は互いに排反です — 1回の試行で両方は起こりません。ただし、互いに排反であっても全体を覆うとは限りません。「偶数または5」は1と3を含みません。
余事象は特別で、より強い条件です：互いに排反かつ合わせると Ω 全体になります。AとĀのペアがその典型です：
A ∪ Ā = Ω かつ A ∩ Ā = ∅
AとĀは標本空間を重なりも隙間もなく2つに分けます — 2つへの分割です。「偶数が出る」と「奇数が出る」は余事象；「偶数が出る」と「5が出る」は単に互いに排反（隙間がある）です。
1枚カードを引きます。A =「ハート」、B =「スペード」とします。A ∩ B = ∅ なので互いに排反（両方のカードは存在しない）ですが、ダイヤやクラブはどちらでもないので余事象ではありません。一方、A =「ハート」と Ā =「ハートでない」は余事象です：すべてのカードはちょうど一方に属します。
互いに排反は独立とは異なります。自明でない互いに排反な事象は、実際には最も従属した事象です：一方が起きると、他方は起こり得ない — Aが起きたとわかると、Bの確率は0になります。独立（33.4のテーマ）はAがわかっても何も変わらないことを意味します。全く別の — むしろ反対の — 概念ですので、混同しないようにしましょう。
まとめ。互いに排反とは A ∩ B = ∅（重なりなし）；余事象はさらに A ∪ B = Ω（隙間なし）を加えるため、AとĀは標本空間全体を分割します。
A ∪ B の確率はどのくらいでしょうか？P(A) + P(B) と思うかもしれませんが、円が重なる場合はずれます。レンズ部分 A ∩ B がAでもBでも2回数えられるからです。その二重計上を引けば、一般の加法定理が得られます：
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
結果の個数で読むと |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|。引き算がすべてを解決します — 2回数えた重複を修正するのです。
1枚引きます。A =「ハート」（13枚）、B =「絵札」— 任意のスートのJ・Q・K（12枚）とします。重なり A ∩ B はハートの絵札 J♥・Q♥・K♥（3枚）です。よって
|A ∪ B| = 13 + 12 − 3 = 22、 したがって P(A ∪ B) = 2252 = 11/26 ≈ 0.423。
3を引き忘れると 25/52 と答えてしまいます — J♥・Q♥・K♥をそれぞれ2回数えているため大きすぎます。
AとBが互いに排反のとき、重なりは空なので P(A ∩ B) = 0 となり、公式は見慣れた形に簡略化されます：
A, B が互いに排反 ⟹ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
この特殊な場合は、引くものがない一般公式にすぎません。事象が重なり得るか必ず確認しましょう；重なるなら引き算が必要です。
よくある間違いは、重なり得る事象に対して P(A ∪ B) = P(A) + P(B) と使うことです。A ∩ B のレンズ部分を二重に数えてしまいます。引き算を省略できるのは A ∩ B = ∅ を確認したときだけです。「ハートまたは絵札」は重なります；「ハートまたはスペード」は重なりません。
まとめ。P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)；マイナス記号が重複を修正し、事象が互いに排反のときだけ消えます。
AとĀは Ω を分割するので、確率の和は必ず1になります：P(A) + P(Ā) = 1。変形すると、大きな手間を省く近道が得られます：
P(A) = 1 − P(Ā)
補事象の方が数えやすいときは、裏口を使いましょう。典型的な場面は「少なくとも1回」という表現です。「少なくとも1回成功」の反対は、シンプルな事象「1回も起こらない」です：
P(少なくとも1回) = 1 − P(1回も起こらない)
公平なサイコロを4回投げます。少なくとも1回6の目が出る確率は？「ちょうど1回、ちょうど2回、…」と数えるのは大変です。補事象は1つのすっきりした事象です — 「どの回にも6の目が出ない」。各回で6を避ける確率は 56 で、各回は独立なので
P(6が出ない) = (5/6)4 ≈ 0.482、 したがって P(少なくとも1回6の目) = 1 − (5/6)4 ≈ 0.518。
コインを投げるより少し高い確率 — そして1回の引き算で全部解決しました。
このパターンは一般化できます：n回投げると P(少なくとも1回6の目) = 1 − (5/6)n となり、投げるほど1に近づきます。（「1回も起こらない」が各回の確率の積になる理由 — 独立の乗法則 — は 33.4 の核心です。）
まとめ。P(A) = 1 − P(Ā)；「少なくとも1回」が難しいときは「1回も起こらない」を数えて1から引きましょう。
| 日本語 | 集合表記 | 公式・ルール |
|---|---|---|
| A かつ B | A ∩ B | 重なりのレンズ — 両方が起こる |
| A または B | A ∪ B | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) |
| A でない | Ā | P(A) = 1 − P(Ā) |
| A と B は同時に起こらない | A ∩ B = ∅ | 互いに排反 ⟹ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) |
| A と Ā：重なりなし・隙間なし | A ∪ Ā = Ω | 余事象 — Ω を分割する、P(A) + P(Ā) = 1 |
| 少なくとも1回成功 | 「1回も起こらない」の否定 | P(少なくとも1回) = 1 − P(1回も起こらない) |
| 互いに排反 vs. 独立 | — | 別の概念 — 互いに排反は独立の反対 (→ 33.4) |
標準的な52枚のトランプから1枚引きます。A =「クラブ」、B =「クイーン」とします。A ∩ B と A ∪ B を言葉で表し、|A ∩ B| を求めなさい。
あるクラスで P(サッカーをする) = 0.5、P(テニスをする) = 0.3、P(両方する) = 0.1 です。少なくとも一方のスポーツをする生徒の確率を求めなさい。
「赤いカードを引く」と「キングを引く」は互いに排反ですか？余事象ですか？説明しなさい。
袋の中に赤玉5個と青玉3個があります。2個を（非復元で）取り出します。補事象を使って P(少なくとも1個青) を求めなさい。
公平なコインを5回投げます。少なくとも1回表が出る確率を求めなさい。
事象 A と B が P(A) = 0.6、P(B) = 0.5、P(A ∪ B) = 0.9 を満たしています。P(A ∩ B) を求め、A と B が互いに排反かどうか判断しなさい。
6問で定着を確認しましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンでは事象を標本空間 Ω 上の集合として扱い、それらを組み合わせる代数を構築します：積事象 A ∩ B、和事象 A ∪ B、補事象 Ā、互いに排反（A ∩ B = ∅）と余事象（A ∪ Ā = Ω）の区別、一般の加法定理 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)、そして「少なくとも1回」問題の背後にある補事象の近道 P(A) = 1 − P(Ā)。CCSS HSS-CP.A.1 — 和集合・積集合・補集合を使って事象を標本空間の部分集合として記述する — および CCSS HSS-CP.B.7 — 加法定理 P(A or B) = P(A) + P(B) − P(A and B) を適用する — に対応しています。理解の確認として：「互いに排反だが余事象ではない」事象のペアを1つ挙げさせ、「互いに排反」と「独立」がなぜ異なる概念かを説明させてみましょう — この対比は33.4に再登場します。