i を手にすれば、すべての二次方程式はちょうど 2 つの根を持つ — 例外なし。
学校の授業では、二次方程式の解は 2 つ、1 つ、あるいは — 厄介なケースとして — なし、のいずれかでした。「解なし」とは、平方根の中に負の数が入り込んで実数の直線に置き場がないことを意味していました。でも今、私たちはその場所を作りました：i、すなわち i2 = −1 です。√(−16) = 4i が正真正銘の数として扱えるようになれば、二次方程式の公式は二度と止まりません。このレッスンでは、判別式 Δ = b2 − 4ac は「門番」ではなく分類器になります：2 つの実数根、1 つの重根、または 共役ペア — そして「二次方程式の根はいくつ？」という問いにはついに一つのすっきりした答えが：常にちょうど 2 つ。
二次方程式の公式と判別式を思い出しましょう：a x2 + b x + c = 0（a ≠ 0）に対して、
x = −b ± √Δ2a, Δ = b2 − 4ac.
すべては根号の中に凝縮されています。Δ ≥ 0 なら実数の平方根を取って実数の根が得られます。Δ < 0 では負の数が根号の中に入り込み — これがかつて 「解なし」 と呼んでいたまさにそのケースです。
でも「実数の解がない」と「解がない」は別のことです。Δ' = −Δ > 0（真の正の数）と置きましょう。虚数単位の i2 = −1 と √(−9) = √9·√(−1) = 3i というルールを使うと、
√Δ = √(−Δ') = i√Δ'.
平方根が戻ってきました — i を携えて。だから公式は止まらずに動き続けます。
Δ < 0 は「根がない」を意味しません。実数の根がないという意味です — 根は実数直線を離れ、複素平面の上に存在します。
放物線はこれを目に見える形にしてくれます。放物線の形から、実数の根とは曲線が x 軸と交わる点のことです。Δ < 0 のとき放物線はその軸に触れることなく — x 軸より完全に上（a < 0 なら完全に下）に浮かびます。根はそこにないのです。グラフには示せません。なぜなら根は実数ではないから。
√(−16) = ±4 は i が抜けています — これが典型的な誤りです。正しくは √(−16) = 4i で、(4i)2 = 16·i2 = −16 だからです。また √(−1)·√(−1) = √1 = 1 も間違い：i·i = i2 = −1 です。「√a·√b = √(ab)」の公式は負の数には使えません。
√Δ = i√(−Δ) を使うと、二次方程式の公式から 2 つの根が直接得られます：
x = −b ± i√(−Δ)2a （Δ < 0 のとき）。
代表的な例を最後まで追ってみましょう。x2 − 2x + 5 = 0 を解きます。a = 1, b = −2, c = 5 です。
Δ = (−2)2 − 4·1·5 = 4 − 20 = −16 < 0.
√(−16) = 4i.
x = 2 ± 4i2 = 1 ± 2i.
つまり 2 つの根は 1 + 2i と 1 − 2i です。最初の根を代入して確認しましょう：(1 + 2i)2 = 1 + 4i + 4i2 = 1 + 4i − 4 = −3 + 4i、次に −2(1 + 2i) = −2 − 4i、そして 5 を足すと：
(−3 + 4i) + (−2 − 4i) + 5 = 0. ✓
虚部が打ち消し合い、実部も打ち消し合います — これは確かに根です。
x2 − 6x + 13 = 0 を解きましょう。 Δ = 36 − 52 = −16 より √(−16) = 4i、x = (6 ± 4i)/2 = 3 ± 2i。2 つの根は 3 + 2i と 3 − 2i です。
すべての例をもう一度見てみましょう：1 ± 2i、3 ± 2i。2 つの複素数根は常にお互いの共役です — 実部が同じで虚部が逆符号。これは偶然ではなく、係数 a, b, c が実数であれば必ず成り立ちます。
なぜかを 共役と絶対値 の規則を使って説明します。z が根だとすると a z2 + b z + c = 0 です。両辺の共役を取ります。共役は和と積を通り抜けます — (zw)‾ = z̄·w̄、(z + w)‾ = z̄ + w̄ — そして実数は自身の共役です (ā = a)。ゆえに
(a z2 + b z + c)‾ = a z̄2 + b z̄ + c = 0̄ = 0.
この最後の式は z̄ が同じ方程式を満たすことを示しています：z が根ならば z̄ も根。根は鏡像のペアとして現れます。
幾何学的には、共役は実軸についての反射です（Stage 31.4）。つまり複素数根のペアは実軸について対称に上下に位置します — 同じ高さ、逆符号。複素平面の等スケールがその対称性を図の上でも正確にしてくれます。
共役ペアの法則には実数の係数が必要です。x2 − i = 0 のような方程式では係数がすべて実数ではないため、2 つの根は共役ではありません。また 1 + 2i < 1 − 2i とは決して書けません — ℂ には順序がないのです。絶対値は比べられます（どちらも √5）が、数そのものは比べられません。
3 つのケースが一つの文にまとまります。Δ の符号が根の種類を決めますが、個数は変わりません：
| 判別式 | グラフ | 根 | 個数 |
|---|---|---|---|
| Δ > 0 | x 軸と 2 点で交わる | 2 つの異なる実数根 | 2 |
| Δ = 0 | x 軸に 1 点で接する | 1 つの重根（実数） | 2（重複あり） |
| Δ < 0 | x 軸に交わらない | 共役ペア a ± bi | 2 |
重複度を込みで数えると、二次方程式は常にちょうど 2 つの根を持ちます。複素数こそがこの均一性をもたらします — かつて「解なし」が残していた空白を埋めるのです。もう根が足りない二次方程式はありません。
根と係数の橋はそのまま生きています。ヴィエタの公式によると、根の和は −b/a、積は c/a です — 虚部が打ち消し合うので複素ペアにも成り立ちます：
1 ± 2i の場合： 和 = (1 + 2i) + (1 − 2i) = 2 = −(−2)/1 ✓； 積 = (1 + 2i)(1 − 2i) = 12 + 22 = 5 = 5/1 ✓。
積は z·z̄ = |z|2 に過ぎません — Stage 31.4 が約束した通りの実数です。共役ペアは常に実数の和 (2·Re z) と実数の積 (|z|2) を持ちます。これが実係数の二次方程式が複素ペアを根として持てる理由そのものです。
根が 2 ± 3i の二次方程式を作りましょう。和 = 4、積 = 22 + 32 = 13。a = 1 とすると、ヴィエタより b = −(和) = −4、c = 積 = 13：x2 − 4x + 13 = 0。確認：Δ = 16 − 52 = −36、x = (4 ± 6i)/2 = 2 ± 3i ✓。
根が欠けることがなくなると、新しい問いが自然に生まれます：それぞれの種類はいくつ？ 二次方程式はちょうど 2 つ、三次方程式は 3 つ、そして次数 n の多項式は複素数の範囲でちょうど n つの根を持ちます（重複度込み）。この事実こそが代数学の基本定理です — 複素数は多項式に対して実数には決してなかった「完全性」を持っています。その最初の例をここで見ました：「根がないかもしれない」から「常にちょうど正しい個数」への入口。
根を数えること — そして一般に、有限の集まりから並べたり選んだりすること — は次のカリキュラムの柱を開きます：Stage 32 · 数え上げ（順列と組み合わせ）。複素数は何も欠けない世界を与えてくれました。数え上げはその中のすべてを把握する方法です。
| アイデア | まとめ |
|---|---|
| 負の Δ | √Δ = i√(−Δ) — 「解なし」ではなく、実数の解がないだけ |
| 根 | Δ < 0 のとき x = (−b ± i√(−Δ)) / (2a) |
| 共役ペア | 実係数 ⇒ a + bi が根なら a − bi も根（実軸についての鏡像） |
| 個数 | Δ > 0, = 0, < 0 → 2 つの実数根 / 1 つの重根 / 共役ペア — 常にちょうど 2 つ |
| ヴィエタは健在 | 和 = −b/a、積 = c/a = 複素ペアでは |z|2 |
次へ：根が欠けることのない世界から、数え上げへ — 並べ方・選び方は何通りか（Stage 32）。
x2 + 4 = 0 を解きなさい。根は共役ペアですか？
x2 = −4 より x = ±√(−4) = ±2i。根は 2i と −2i = 0 ± 2i — はい、共役ペアです（実部 0、虚部は逆符号）。ここで a = 1, b = 0, c = 4, Δ = −16。
x2 − 4x + 7 = 0 について：Δ を計算し、根を分類してから解きなさい。
Δ = (−4)2 − 4·1·7 = 16 − 28 = −12 < 0 → 共役ペア。√(−12) = √12·i = 2√3 i より x = (4 ± 2√3 i)/2 = 2 ± √3 i。
実係数の二次方程式の一つの根が −1 + 3i です。もう一つの根と、二次方程式（a = 1）を求めなさい。
実係数より共役が強制されます：もう一つの根は −1 − 3i。和 = −2、積 = (−1)2 + 32 = 10。a = 1 でヴィエタより b = −(和) = 2、c = 積 = 10、よって x2 + 2x + 10 = 0。
正しいか誤りか：「Δ < 0 は方程式に解がないことを意味する。」理由も説明しなさい。
誤り。Δ < 0 は実数の解がないことを意味します — 放物線が x 軸に交わらないのです。解はちょうど 2 つ存在し、それらは実数直線を離れた 複素共役ペアです。根は存在します；グラフがそれを表示できないだけです。
x2 − 6x + 13 = 0 の根 3 ± 2i についてヴィエタの公式を確認しなさい。
和 = (3 + 2i) + (3 − 2i) = 6 = −b/a = −(−6)/1 ✓。積 = (3 + 2i)(3 − 2i) = 32 + 22 = 13 = c/a = 13/1 ✓。（積は |3 + 2i|2 という実数です。）
ある生徒が「√(−25) = ±5」と書きました。間違っている点を 2 つ見つけて直しなさい。
（1）i が抜けています：√(−25) = 5i（(5i)2 = −25 だから）。（2）主平方根は一つの値 5i であり「±5」ではありません；± は二次方程式の公式「−b ± √Δ」の中にのみ現れます。正しい表現：√(−25) = 5i。
6 問で理解を固めよう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンは、複素数と生徒がすでに知っている二次方程式を再結合させて Stage 31 を締めくくります。Common Core 標準 CCSS HSN-CN.C.7（複素数解を持つ実係数の二次方程式を解く）に対応し、HSN-CN.C.8–9（多項式の等式を複素数に拡張する；代数学の基本定理）へとつながります。また HSN-CN.A.3 の共役と絶対値の考え方を活用しています。強調すべき大きな転換点：負の判別式は「解なし」を意味したことは一度もなく、「実数の解がない」だけです。複素数は「根はいくつ？」という問いを完全に均一にします — 重複度を込みで常にちょうど 2 つです。家庭での自然な確認：b2 < 4c になる b と c を選んで、2 つの根が和 = −b、積 = c の共役ペアになることを一緒に確かめてみましょう。