鏡像 z̄ は、z にまつわる面倒な問題を、すっきりした実数の計算に変えてくれます。
すべての複素数には双子がいます。z = a + b i を実軸に対して折り返す——実部はそのまま、虚部の符号を反転する——と、その共役 z̄ = a − b i が得られます。このひと手間が複素数全体の鍵となります：数をその共役と掛け合わせると虚部が打ち消し合い、実数 a² + b² = |z|² だけが残ります。これが共役で分母の i を消せる理由です（複素数の四則演算 で登場しましたね）。そして z についての複雑な方程式を普通の実数の計算に変える鍵でもあります。さらに絶対値——長さ |z| = √(a² + b²)——が積や商を通じてどう振る舞うかも見ていきます：長さは掛け算で掛かり、割り算で割れます。
まず定義から。z = a + b i の共役は
z̄ = a − b i — 実部はそのまま a、 虚部を反転 −b。
幾何学的には、これ以上ないくらいシンプルな反射です：点を実軸に対して折り返す。実部の座標 a は動かず、虚部の座標 b が −b に入れ替わります。つまり 3 + 2i は 3 − 2i になり、−1 − 4i は −1 + 4i になります。
共役をとることは実軸に対する反射です。図から直接読み取れる2つの事実があります：
2回共役をとると元に戻る： z̄̄ = z（折り返して、また折り返す）。そして z が実数であることと z = z̄ であることは同値——自分の鏡像と等しい点は、b = 0 の実軸上にあるはずです。
共役は虚部だけを反転します。実部は変わりません。よくある間違いはすべての符号を反転することですが、3 + 2i の共役は 3 − 2i であって、−3 − 2i ではありません。両方の部分を反転すると −z という別の数になります（鏡映ではなく、原点を中心とした半回転です）。
実部 a と虚部 b を調整してください。z̄ が z を実軸に対して鏡映する様子と、z·z̄ が実数 |z|² として実軸上に着地する様子を確認しましょう。
これが共役を使う最大の理由です。z = a + b i にその共役 z̄ = a − b i を掛けると、交差する項が打ち消し合います：
(a + b i)(a − b i) = a² − a b i + a b i − b² i² = a² − b²(−1) = a² + b²。
中間の2項（−a b i と +a b i）は符号が逆で消え、−b² i² は i² = −1 なので +b² になります。残るのは a² + b² という純粋な実数——これはまさに長さの二乗です：
z·z̄ = a² + b² = |z|²。
例：z = 3 + 2i のとき、 (3 + 2i)(3 − 2i) = 9 + 4 = 13、確かに |z|² = 3² + 2² = 13 です。これが除法の仕組みです：分母から i を消すために共役を掛けるのは、まさに分母が実数 |w|² になるからです。
同じ反転から、さらに2つの等式が導けます。z とその鏡像を足すと虚部が消え、引くと実部が消えます：
z + z̄ = 2a = 2 Re z （実数）、 z − z̄ = 2b i = 2i·Im z （純虚数）。
つまり共役を使えば、算術だけで実部と虚部を取り出せます：Re z = (z + z̄)/2、Im z = (z − z̄)/(2i)。
z·z̄ と z² を混同しないでください。共役との積 z·z̄ = a² + b² は常に実数で負になりません。しかし z² = (a + b i)² = a² − b² + 2ab i は一般的に複素数です。虚部を消してくれるのは鏡のパートナーだからこそです。
絶対値は矢印の長さ |z| = √(a² + b²) ≥ 0 です。最重要ルールは、長さは積をきれいに通り抜けるということ：2つの数を掛け合わせると、それぞれの長さも掛け合わさります。
|z₁ z₂| = |z₁| · |z₂| かつ |z₁ / z₂| = |z₁| / |z₂| (z₂ ≠ 0)。
例：z₁ = 3 + 4i（長さ 5、3² + 4² = 25 より）と z₂ = 1 + 2i（長さ √5）を考えます。積は (3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i² = −5 + 10i、その長さは √(25 + 100) = √125 = 5√5。一方、5 · √5 = 5√5。2つの経路が一致します——まさにルールが約束する通りです。
なぜ成り立つのでしょう？|z|² = z·z̄ であり、共役は積を通り抜けるからです：(z₁z₂)‾ = z̄₁·z̄₂。よって |z₁z₂|² = (z₁z₂)(z₁z₂)‾ = (z₁z₂)(z̄₁z̄₂) = (z₁z̄₁)(z₂z̄₂) = |z₁|²|z₂|²。平方根をとればルールが得られます。共役は実際すべての演算で分配法則を満たします：
(z + w)‾ = z̄ + w̄、 (z w)‾ = z̄ · w̄、 (z / w)‾ = z̄ / w̄。
足し算だけは長さが単純に合わさりません。z₁ + z₂ は矢印の三角形を閉じる（ベクトルの演算 の先端から末端へのルール）ので、第三辺は他の2辺の和を超えられません：|z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|、等号は2つの矢印が同じ向きのときだけです。長さは × では掛け合わさりますが、+ では上限を与えるだけです。
2つの落とし穴があります。第一に、|z| は決して負になりません——長さなので |z| ≥ 0 であり、|z| = 0 は z = 0 のときだけです。第二に、共役は両方の因数に作用します：(z w)‾ = z̄ · w̄ であって z̄ · w ではありません。そして ℂ には順序がないため、大きさ |z₁| と |z₂| は比べられますが、数 z₁ と z₂ 自体の間に不等号を書くことはできません。
z₁ と z₂ の2つの数を設定してください。表示欄では |z₁z₂| を直接計算し、|z₁|·|z₂| を別々に計算します——常に一致するはずです（図には3本の矢印が描かれ、長さが掛け合わさる様子が確認できます）。
ここが実践の場です。z と z̄ が混在するほぼすべての問題を解く、2つの標準的な手法があります：
手法 1 — z = x + y i と置いて各部分を合わせる。 1つの複素数方程式は、実は2つの実数方程式（実部＝実部、虚部＝虚部）です。それを解きます。
手法 2 — z·z̄ = |z|² を使う。 共役の積が現れたら、実数 |z|² に置き換えれば虚数の煩わしさが消えます。
z + 2z̄ = 9 + i を満たす z を求めなさい。z = x + y i と置くと z̄ = x − y i。すると
(x + y i) + 2(x − y i) = (x + 2x) + (y − 2y) i = 3x + (−y) i。
これを 9 + i と合わせます：実部から 3x = 9 ⇒ x = 3、虚部から −y = 1 ⇒ y = −1。よって z = 3 − i。検証：(3 − i) + 2(3 + i) = 3 − i + 6 + 2i = 9 + i ✓。
目標は z + 2z̄ = 9 + i です。z = x + y i の x と y を調整して、計算した左辺が緑になるまで——つまり実部の方程式（3x = 9）と虚部の方程式（−y = 1）が同時に成り立つまで——ダイヤルを回してください。
同じ手法で、絶対値を使った問題にも答えられます。「|z| = 5 かつ Re z = 3 を満たす z をすべて求めよ」：a² + b² = 25 と a = 3 から b² = 16 が得られ、z = 3 + 4i または z = 3 − 4i となります——もちろん共役のペアです。実部と絶対値が等しいからです。
| アイデア | ルール | なぜ重要か |
|---|---|---|
| 共役 | z̄ = a − b i | 実軸に対する鏡映；Im z だけを反転 |
| 共役との積 | z·z̄ = a² + b² = |z|² | 常に実数；分母から i を消す |
| 実部・虚部の抽出 | z + z̄ = 2 Re z、 z − z̄ = 2i Im z | 算術だけで a と b を取り出せる |
| 絶対値と ×、÷ | |z₁z₂| = |z₁||z₂|、 |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂| | 長さは掛け算・割り算に従う |
| 共役の分配法則 | (z+w)‾ = z̄+w̄、 (zw)‾ = z̄·w̄ | すべての演算を通り抜ける |
| 2つの解法 | 各部分を合わせる または z·z̄ を使う | 複素方程式を実数の計算に変える |
次の 三角形式 では、絶対値が偏角と組み合わさります——「長さは掛け合わさる」は、積は角度を足すという美しいルールへと成長します。
それぞれの共役を書きなさい：(a) 5 − 3i、 (b) −2 + 6i、 (c) 7、 (d) 4i。
虚部の符号だけを反転します。(a) 5 + 3i；(b) −2 − 6i；(c) 7（実数は自分自身が共役）；(d) −4i（純虚数は全体が反転）。
z = 5 + 12i に対して z·z̄ を計算し、|z| を求めなさい。
(5 + 12i)(5 − 12i) = 25 + 144 = 169、実数です。z·z̄ = |z|² より |z| = √169 = 13。
z₁ = 2 + i と z₂ = 1 − 3i に対して |z₁z₂| = |z₁||z₂| を確かめなさい。
長さ：|z₁| = √5、|z₂| = √10、よって |z₁||z₂| = √50 = 5√2。積：(2 + i)(1 − 3i) = 2 − 6i + i − 3i² = 5 − 5i、長さ √(25 + 25) = √50 = 5√2。一致します。✓
2z − z̄ = 3 + 6i を満たす z を求めなさい。
z = x + y i と置きます。すると 2(x + y i) − (x − y i) = (2x − x) + (2y + y) i = x + 3y i。3 + 6i と合わせると：x = 3 かつ 3y = 6 ⇒ y = 2。よって z = 3 + 2i。検証：2(3 + 2i) − (3 − 2i) = 6 + 4i − 3 + 2i = 3 + 6i ✓。
実数係数の方程式が根 2 + 5i を持つならば、必ず 2 − 5i も根であることを1行で説明しなさい。
共役はすべての演算で分配法則を満たすので、（実数係数の）方程式全体に共役をとっても方程式は変わらず、根 z が z̄ に送られます——よって 2 − 5i も根です。（これは共役ペアの定理で、複素数と方程式 で詳しく扱います。）
|z| = √13 かつ Im z = 2 を満たす z をすべて求めなさい。
z = a + 2i と置きます。|z|² = a² + 4 = 13 より a² = 9 となり a = 3 または a = −3。よって z = 3 + 2i または z = −3 + 2i ——直線 Im z = 2 上の等長の2点です。
6問で定着させましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンでは複素数の共役と絶対値、および等式 z·z̄ = |z|² を扱います。これは Common Core 標準 CCSS HSN-CN.A.3（複素数の共役を求め、絶対値や商の計算に使う）および CCSS HSN-CN.A.1–2（a + b i の形とその算術）に対応しています。幾何学的な流れ——共役を実軸に対する反射として捉えること、そして積の法則 |z₁z₂| = |z₁||z₂|——は、31.6 で扱う多項式の根に対する共役ペアの定理（HSN-CN.C.7–9）への準備となります。理解の確認として：複素数の割り算で共役を掛ける標準的な手法がなぜ機能するのかを尋ね、生徒に「分母が実数 |w|² になるから」と答えさせると効果的です。