累乗と掛け算を逆に走らせる：指数の割り算、0乗と負の指数、そして因数分解への第一歩。
これまで学んだ演算はすべてペアになっています。足し算と引き算、そして掛け算と割り算です。前のレッスンでは式を組み立てる方法を学びました。累乗を掛け合わせたり、単項式を掛けたり、乗法公式を使って一気に展開したりしました。このレッスンではフィルムを逆再生します。割り算では、式を組み立てるのではなく分解します。やることのほとんどは、すでに知っているルールをそのまま逆にしただけです。
最終的に 5 つのことができるようになります。同じ底を持つ 2 つの累乗の割り算（指数を引く）、引き続けると出てくる a0 や a−n の意味の理解、単項式÷単項式、多項式÷単項式（各項ごとに割る）、そして因数分解への第一歩（和を積として書き直す）です。色の使い方は全体を通して統一します。変数（文字）は青、係数（数の掛け算）は琥珀色、指数は紫、注意は赤です。
累乗とは同じ因数を短く書いたものです。a5 は a·a·a·a·a、つまり同じ数を 5 回掛け合わせたことを表します。ですから、同じ底を持つ累乗どうしを割るとき、実際には a の列を a の列で割ることになります。こういう分数は約分したくなりますよね。
a5 ÷ a2 で何が起きるか見てみましょう。因数を全部書き出して分数にします。
下の a は、同じ数の上の a を消すだけです。だから列を全部書き出す必要はありません。ただ指数を引くだけです。底はまったく変わらず、因数の個数だけが変わります。
同じ底を持つ 2 つの累乗を割るには、底はそのままにして指数を引きます。
am ÷ an = am−n
これは 7.4 のレッスンの掛け算ルールの鏡像です。累乗を掛けるとき指数は足されました。掛ける → 足す；割る → 引く。
x7 ÷ x3 を簡単にしなさい。
指数は引きます。指数を割るのでも、底を割るのでもありません。a6 ÷ a2 は a4 です（6 − 2 = 4 だから）。not a3 — a³ ではなく、not a だけでもありません。また、このルールには同じ底が必要です。a5 ÷ b2 はまとめられません。b は a を消せないからです。
上の指数 m と下の指数 n（m ≥ n）を設定してください。下の a が上の a を消していく様子を見て、残りがいくつになるか確認しましょう。
指数を引くルールはとても美しいので、思い切った問いを立てる価値があります。下の指数が上と同じ、あるいはもっと大きかったらどうなるでしょう？ルールはひるまずに答えを出し続け、その答えが 0 乗と負の指数の意味を強制的に決めてくれます。
まず等しい指数から始めましょう。0 でない数を自身で割ると必ず 1 になるので、a3 ÷ a3 = 1 です。しかしルールは「引け」と言います。3 − 3 = 0 で a0 になります。2 つの結果が一致するためには、a0 = 1 という唯一の結論にたどり着くしかないのです。
0 でない底 a に対して a0 = 1。これは手で宣言した特別な新事実ではありません。an ÷ an が a0 でもあり明らかに 1 でもある以上、割り算のルールを正直に保つ唯一の値なのです。
ではさらに 0 より下へ。a2 ÷ a5 を考えましょう。書き出すと、上に a が 2 つ、下に 5 つ。上の 2 つが下の 2 つを消して、分母に a が 3 個（a の 3 乗）残るので値は 1a3 です。一方ルールは 2 − 5 = −3 と言い a−3 を与えます。両者が一致するためには、負の指数は逆数を意味しなければなりません。
負の指数は累乗を分母に送ります。a−n = 1an（a ≠ 0）。指数のマイナス符号は数を負にするのではなく、逆数を取ることを意味します。
これを一度に体感する最もすっきりした方法は、階段を下りることです。1 段ごとに底で割ります。1 段下りるたびに指数がちょうど 1 減り、値は 1 を通り抜けてなめらかに分数へと続きます。
2−2 は 14、つまり小さな正の数です。not −4 — −4 ではなく、not −¼ でもありません。マイナス符号は指数についており、そこで「逆数」を意味します。値そのものが負になるのではありません。
階段を下りましょう。高いところから始めて、1 段ごとに底で割ります。指数が 0 を通り過ぎながら、値がなめらかに分数へと変わる様子を見てください。20 が 1 に着くのは命令ではなく、各段で前の値を半分にしているからです。
単項式とは 1 つのかたまりです。数に指数付きの文字を掛けたもの、たとえば 6x5 のようなものです。単項式÷単項式は新しいことは何もありません。2 つの仕事を並べてやるだけです。数（係数）は普通の数として割り、文字は学んだばかりの商の法則に従います。指数を引くのです。
6x5 ÷ 2x2 を考えましょう。数の問題と文字の問題に分けます。
これは単項式の掛け算の正確な逆で、係数を掛け指数を足した操作の逆です。掛け算に戻して確かめられます。2x2 × 3x3 = 6x5 なので、6x5 ÷ 2x2 = 3x3 は正しいはずです。
15y6 ÷ 5y2 を簡単にしなさい。
割り切れる係数と、上が下以上の指数を選んでください。2 つの仕事（数の割り算と指数の引き算）が別々に行われ、最後に合わさる様子を確認しましょう。
多項式は単項式の和です。たとえば 6x3 + 4x2 のように複数のかたまりを足したものです。多項式全体を 1 つの単項式で割るには、割り算がいつも従ってきた公平なルールを使います。除数をすべての項に分け与えるのです。各項を別々に割り、その結果を足し合わせます。
なぜ許されるのでしょう？分子に和がある分数はきれいに分割できるからです。A + BC = AC + BC。これは積を展開するときに使った分配法則が、帰り道でも働いているのです。
(10a4 − 15a2) ÷ 5a を簡単にしなさい。
最もよくあるミスは、最初の項だけ割って残りをそのまま写すことです。すべての項を割らなければなりません。(6x3+4x2) ÷ 2x の答えは 3x2+2x です。not 3x2+4x2 — 3x²+4x² ではありません。また各項の符号を保持してください。引き算は引き算のまま。
上の係数 2 つと除数 2x を選んでください。割り算が各項に渡され、2 つのシンプルな答えが合わさる様子を見てください。
一歩引いて、割り算が示してくれたことを振り返りましょう。(6x2 + 8x) ÷ 2x を割って 3x + 4 が得られました。逆から読むと驚くことが言えます。2x に (3x + 4) を掛けると 6x2 + 8x に戻ります。割り算は密かに、和を積として書き直す方法を教えてくれていたのです。
それが因数分解の全アイデアです。掛け算（または展開）は積を広げて和にします。2x(3x+4) = 6x2+8x。因数分解はその矢印を逆に走らせます。和 6x2+8x を見て、すべての項に共通するものを探し、その共通因数を前に引き出して和を再び積として書きます。
何を引き出すかを見つけるのは純粋な割り算です。各項に 2x が入っています。6x2 = 2x · 3x かつ 8x = 2x · 4。共通の部分 2x が最大公約因数です。各項をそれで割った残りがかっこの中に入ります。
6x2 + 8x を因数分解しなさい。
共通因数を括り出すという、因数分解の最初の一歩を踏み出しました。因数分解は式の分数の簡略化や方程式を解く上でのエンジンです。グループ化・特殊パターン・三項式など、まだまだ先があります。ここで垣間見た「逆向きの旅」が、これからの道です。
切り替えを使って橋を両方向に走らせましょう。展開は積を和にし、因数分解は共通の 2x を括り出して和を積に戻します。
割り算は掛け算を逆に走らせたものです。同じ底を持つ 2 つの累乗は指数を引いて割ります。am ÷ an = am−n。引き続けるとパターン自体が a0 = 1 と a−n = 1an を強制します。単項式÷単項式は数の問題と文字の問題に分割されます。係数を割り、指数を引く。多項式÷単項式は除数をすべての項に分け与えます。そしてこのすべてを逆に走らせること — 共通因数を括り出して和を積として書くこと — が因数分解への第一歩です。
まず自分で解いてから、答えを開いて考え方を確かめましょう。
よくある間違いを狙った 6 問です。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンは掛け算を逆に走らせることで Stage 7 を締めくくります。7.4 の指数のルールと 7.5 の単項式・多項式の掛け算を土台にしています。前のレッスン：7.6「乗法公式：速く計算するための近道」。ここで体験した因数分解の第一歩は、Stage 9 で有理式を簡略化するための入口になります。