多項式の展開から生まれた2つの公式 — 使いこなして瞬時に答えを出せるようになろう。
レッスン7.5では式の展開の万能ルールを学びました：最初のカッコの各項が、2番目のカッコの各項と出会う。このルールは絶対に失敗しません — でも手間がかかります。このレッスンは、あまりにも頻繁に登場し、とても整然と振る舞うため、数学者たちがずっと前に公式にまとめた2つの積についてです。一度パターンを覚えれば、すぐに答えに飛べます。
このレッスンが終わると、4つのことができるようになります：(a+b)(a−b) を一発で平方の差として展開する；中間項を落とさずに完全平方公式で和や差を二乗する；両方の公式を面積の図として見る；そして 102×98 のような計算を暗算で解く。レッスン全体を通じてカラールールが一貫しています：1つ目のかたまり a は青、2つ目のかたまり b は琥珀色、そして交差項 2ab は緑です。
ちょっとした罠のように見える積から始めましょう：2つの因数は符号がひとつ違うだけで同じです。一方は和、もう一方は対応する差です：
(a + b)(a − b)
展開するのに新しいことは何もありません — 7.5のルール（各項が各項と出会う）を使うだけです。最初のカッコの2つの項それぞれが、2番目のカッコの2つの項それぞれとかけ算され、4つの積が生まれます：
(a+b)(a−b) = a·a − a·b + b·a − b·b
真ん中に注目してください。最初の積は a²、最後は b²、真ん中の2つは −ab と +ab です。この2つは大きさが同じで符号が逆なので、完全に打ち消し合います — 足すとゼロになって消えます：
a² − ab + ab − b² = a² − b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
和とその対応する差の積は、最初のかたまりの二乗から2番目の二乗を引いた値に等しくなります。中間項はありません — 消えたのです。（順番は関係ありません：(a−b)(a+b) も全く同じ a²−b² になります。）
(2x + 3)(2x − 3) を展開せよ。
x = 5 で確認：因数は 13 と 7 で、13·7 = 91；公式では 4·25 − 9 = 100 − 9 = 91。✓
公式が使えるのは、2つのカッコが同じ a と同じ b を共有し、真ん中の符号だけが違う場合に限られます。(x+3)(x−5) は平方の差ではありません — 2番目のかたまり（3と5）が一致しないので、中間項は消えません。その場合は7.5の全項法を使いましょう。
a と b を設定しよう。4つの積が現れ、−ab と +ab が打ち消し合い、数値がぴったり一致するのを確認しよう。
2つ目のパターンは、2項式を自分自身にかける — 二項式の二乗です。和を二乗してみましょう：
(a + b)² = (a + b)(a + b)
同じ丁寧な方法で展開します — 各項が各項と出会う — ただし今回は何も消えません。4つの積は a·a、a·b、b·a、b·b です：
= a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
今回は真ん中の2つの積が同じ符号を持つので、消えるのではなく合わさって 2ab になります — 2つのかたまりの積の2倍です。この中間項こそがこの公式のすべてで、代数で最もよくあるミスはこれを忘れることです。
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
1番目のかたまりを二乗し、2番目のかたまりを二乗し、真ん中に積の2倍をはさんでつなぎます。差の場合は中間項の符号だけが変わります — 最後の項 b² は、負の数を二乗すると正になるため、正のままです。
(a + b)² は a² + b² ではありません。二乗は和に対して分配できません。中間項 2ab を加える必要があります。数字での簡単な証明：(3 + 4)² = 7² = 49 ですが、3² + 4² = 9 + 16 = 25 です。足りない部分はちょうど 2·3·4 = 24 で、25 + 24 = 49。✓
(3a − 4)² を展開せよ。
a = 2 で確認：カッコの中は 3·2 − 4 = 2 で、2² = 4；公式では 9·4 − 24·2 + 16 = 36 − 48 + 16 = 4。✓
和か差を選び、a と b を設定して、3項の答えが組み上がるのを見よう。数値確認は公式の結果と直接二乗した値を比べます。
両方の公式はつまるところ面積についての話であり、図を見れば絶対に忘れられなくなります。7.5の展開に遡る重要なアイデアは、長方形の面積は縦×横だということです — だから2つの二項式の積は、その二項式を辺とする長方形の面積です。
辺が a + b の正方形を描きましょう。その総面積は定義より (a+b)² です。次に両辺を a の部分が終わり b の部分が始まる点で切ってみましょう。正方形は4枚のタイルに分かれます：大きな a×a の正方形、反対の角の小さな b×b の正方形、そして2枚の同じ a×b の帯。それぞれの面積は a²、b²、そして ab が2枚 — ab が2枚で 2ab です。合計は正方形全体に等しくなければならず、それがまさにこの公式です。
平方の差では、辺 a、面積 a² の正方形から始め、一角から小さな b×b の正方形を切り取ります。残るのは面積 a² − b² のL字型の形です。そのLを2つの長方形に切り、一方をもう一方の横にずらすと、2つの部品がぴったり合わさって1つの長方形になります。その高さは a − b、幅は a + b — つまり同じ面積が (a+b)(a−b) でもあります。1つの面積に2つの名前があること — それがまさにこの公式です。
a と b のスライダーを動かそう。辺 a+b の正方形がタイルを並べ替えます；2枚の緑の帯が 2ab として強調され、4つの面積が合計されます — 数値としても記号としても。
b×b の角を取り除き、残ったLを (a+b)×(a−b) の長方形に折り畳む手順を進めよう。どのステップでも面積は変わりません。
これらの公式の本当の強みは、a と b が何でもよいことです — 変数でも数でも式全体でも。コツはどの部分が a でどの部分が b かを見抜くことで、あとは公式がやってくれます。これは普通の算数にも使えて、面倒な掛け算を暗算で簡単に解ける計算に変えます。
暗算のコツは、各数をきりのよい数プラスまたはマイナス少しと書くことです。たいていは近くの10の倍数や100の倍数を基準にします。すると公式によって計算が2つの二乗と引き算だけに圧縮されます。
102 × 98 を暗算で計算せよ。
103² を暗算で計算せよ。
きりのよい数より少し小さい数には差の形を使います：99² = (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801。
長い計算に手を出す前に、2つの簡単な問いに答えましょう。（1） 符号が逆の同じ2つのかたまりですか？ → 平方の差、答えは a² − b²。（2） 2つのかたまりの式を二乗していますか？ → 完全平方、答えは a² ± 2ab + b²。どちらも当てはまらなければ、7.5の全項法に戻りましょう。
積または二乗が現れます。どの公式が当てはまるかを選んできりのよい数に名前をつけ、すっきりした1行の計算を確認して正確な答えをチェックしよう。
覚えておく価値のある積が2つあります。和とその対応する差の積は平方の差です — (a+b)(a−b) = a² − b²、なぜなら真ん中の2つの項が消えるから。2項式を二乗すると完全平方になります — (a±b)² = a² ± 2ab + b²、積の2倍である中間項 2ab を絶対に忘れないこと。両方の公式は図です：4枚のタイルに切り分けた正方形、またはLを切って長方形に並べ替えたもの。そして数をきりのよい数プラスマイナス少しと書けば、どちらも暗算のショートカットになります。
2つのレッスンで式の乗法を学んできました。次のレッスン7.7では操作を逆向きにして式を割ることを学びます — そして平方の差が、多項式を因数に分解する最もきれいな方法の一つとして再登場します。
まず自分で解いてみて、それから答えを開いて考え方を確認しよう。
よくあるミスを狙い撃ちにした6問です。正しいと思う答えをタップしよう。
このレッスンは乗法の流れの真ん中にあります。これらの公式の土台となる万能の全項法を復習したい場合は、レッスン7.5 · 式の乗法に戻りましょう。逆の操作を行う準備ができたら、レッスン7.7 · 式の除法へ進みましょう。そこでは平方の差が因数分解のツールとして戻ってきます。