指数法則から単項式・多項式の掛け算まで — 面空モデルで直感的に理解しよう。
レッスン 7.3 で代数式の足し算と引き算を学び、7.4 では指数法則を身につけた。今度はそれらを、代数のほぼすべてを支える演算 — 掛け算 — に活かす番だ。秘訣はシンプル：単項式×単項式、単項式×多項式、多項式×多項式、どの組み合わせも同じ一手を繰り返すだけ — 掛けて、まとめる。そして、なぜそうなるかを一目で示す絵がある。それが 面積モデル だ。
このレッスンが終わるころには、単項式×単項式（数と文字を別々に処理）、分配法則（外側の因数を内側の全項に配る）、多項式×多項式（すべての項をペアにして掛け合わせる）、そしてそれらを長方形の面積として描ける力が身につく。覚え方に頼らなくて済む。色のルールはいつも通り：文字は青、数（係数）は橙、指数は紫、符号が反転するときは赤でわかる。
単項式とは、数と文字（整数の指数をもつ）の積だ — たとえば 3x2 や −2x3 がそれにあたる。二つの単項式を掛けるには、掛け算は好きな順序・グループで並べ替えられることを思い出そう。だから数は数同士、同じ底の文字は文字同士にまとめればいい：
(3x2)(−2x3) = (3 · −2) · (x2 · x3) = −6 · x5 = −6x5
ここでは二つの仕事が同時に進む。係数は普通の数として掛け合わせるだけ：3 × −2 = −6。文字はレッスン 7.4 の積の指数法則で合わせる：同じ底の累乗を掛けるとき、指数を足す — だから x2 · x3 = x2+3 = x5。二つのブロックを合体させるイメージ：大きさ（数）は掛け算、層の数（指数）は積み重ね。
単項式同士を掛けるには：係数を掛け算（符号も含めて数同士）し、共通の文字ごとに指数を足す（積の指数法則）。片方の因数にしか現れない文字は、そのまま「乗客」として連れてくるだけでいい。
(4a2b)(5ab3) を計算しよう。
同じ底の累乗を掛けるとき、指数は足す：x2 · x3 = x5、決して x6 ではない。指数を掛けるのは累乗の累乗 (x2)3=x6 のときで、7.4 で学んだ別の法則だ。符号にも注意：正×負は負になる。
それぞれの係数と x の指数を設定しよう。数が掛け合わさり、指数が足されて積ができる様子を見てみよう。(3x2)(−2x3) = −6x5 を再現してみよう。
もし二番目の因数が 3x+4 のような複数の項をもつ多項式だったら？ここで登場するのが分配法則だ。外側の因数をカッコ内のすべての項に、一つずつ配ることを命じている：
2x(3x+4) = 2x·3x + 2x·4 = 6x2 + 8x
それぞれの新しい項は、7.5.1 で習った単項式×単項式の積にすぎない。最初の 2x·3x は係数 2·3=6、x1·x1=x2 で 6x2。次の 2x·4 は 8x だ。分配法則とは「すべての項に漏れなく届けよ」という指示にほかならない。
どんな数や式でも a(b+c) = ab + ac：外側の因数は内側の各項に掛かる。項が増えても同じ：a(b+c+d) = ab+ac+ad。
−3x(2x2−5) を展開しよう。
よくあるミスは最後の項、特に定数を忘れること：2x(3x+4) の答えは 6x2+8x、6x2 だけではない。もう一つのミスは符号の消し忘れ — 外側が負の因数なら、配られた全項の符号が反転する。
外側の因数 mx と、内側の2つの係数を設定しよう。矢印が各項に因数を配り、面空の帯が二つに分かれる様子を確認しよう。2x(3x+4)=6x2+8x を再現してみよう。
今度は両方の因数が複数の項を持つ。ルールは分配法則から自然に広がる：第一の因数のすべての項が、第二の因数のすべての項と掛け合わさる、そしてすべての積を足す。二項×二項なら四つの積が生まれる：
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
なぜ四つ？a は c にも d にも届き、b も同様だから — 二項×二項は 2×2=4 つの積を生む。すべてが揃ったら最後のステップは同類項をまとめること、レッスン 7.3 でやったとおりだ。実際の数で確認しよう：
(x+2)(x+3)
=
x·x + x·3 + 2·x + 2·3
=
x2 + 3x + 2x + 6
=
x2 + 5x + 6
真ん中の二つの積 3x と 2x は同類項 — どちらも x の倍数 — だから 5x にまとまる。x2 の項と定数 6 にはパートナーがないので、そのまま残る。四つの積を覚える語呂合わせとして FOIL（First・Outer・Inner・Last）がよく使われるが、FOIL はあくまで「全項×全項」を思い出すための補助にすぎず、二項×二項にしか使えない。本当のルールはどんな場合も変わらない：すべてのペアを掛けて、まとめる。
二つの多項式を掛けるには、一方の各項を他方の各項と掛け合わせ（符号ごと保持）、それから同類項をまとめる。m 項の因数×n 項の因数はまとめる前に m×n 個の積を生む。
(x+5)(x−2) を展開しよう。
x2+3x+2x+6 で止まらないように — これは展開した式であって、整理された答えではない。また本当の同類項だけがまとまる：3x と 2x は合わさるが、x2 と x は異なる次数なので決して合わさらない。
二つの二項式の積 (x+p)(x+q) を選ぼう。四つの積が一覧表示され、二つの同類項が強調され、最終的な三項式にまとまる様子を見てみよう。
これまでの内容はすべて、面積として見ると一目瞭然になる。長方形の面積は縦×横だ。だから (x+2)(x+3) のような積は、幅が x+2、高さが x+3 の長方形として描ける。幅を x の位置で切り、高さも x の位置で切ると、長方形は四つの小さなマスに分かれる — それぞれが各ペアに対応する。
各マスの面積が四つの積の一つであり、総面積がその和 — つまり展開した式そのものだ。この絵は「全項×全項」を文字通り指さして見せてくれる：x·x のマス、x·3 のマス、2·x のマス、2·3 のマス、それぞれ一つずつある。
| x | 2 | |
| x | x² | 2x |
| 3 | 3x | 6 |
同じ絵は前の節も説明してくれる。単項式×多項式はマスが一行だけの長方形（一方の因数が一つの項しかない）。単項式×単項式はマスが一つだけ — 切れ目のない長方形だ。面積モデルは、式の掛け算すべての根底にある一つのアイデア：長方形をピースに切り、各ピースを求め、足し合わせる。
積を長方形として描き、各辺をプラス記号の位置で切る。マスがそれぞれ項×項の積であり、総面積が展開した式だ。このレッスンのすべての積の法則は、この絵を読み取るだけでいい。
二つの定数をスライドさせよう。長方形が四つのマスに再び切り直され、それぞれの面積が表示される。二つの中央のマスが同類項としてまとまり、総面積が三項式 x2+(p+q)x+pq になる様子を見てみよう。
式の積はすべて同じ一手：掛けて、まとめる。単項式×単項式 — 係数を掛け、共通の文字ごとに指数を足す：(3x2)(−2x3)=−6x5。単項式×多項式 — 分配法則で外側の因数を内側の全項に配る：2x(3x+4)=6x2+8x。多項式×多項式 — 全項×全項して同類項をまとめる：(x+2)(x+3)=x2+5x+6。そして三つはすべて、マスに切り分けた長方形の面積にすぎない。
よく登場する積にはショートカットが使える。レッスン 7.6 では乗法公式 — (a+b)2 や (a+b)(a−b) のようなパターン — を学び、形を見抜いたら四積の計算を省ける方法を身につけよう。
まず自分で解いてから、答えを開いて確認しよう。
六問で定着させよう。正しいと思う答えをタップしよう。
このストランドを続けよう：レッスン 7.4 — 指数の扱い方 ではこのレッスンが依拠する指数法則を学んだ。次は レッスン 7.6 — 乗法公式：速く解くショートカット で、よく出る積を瞬時に展開できるパターンを身につけよう。