点を一つひとつプロットすると、驚きが待っています。軸に限りなく近づきながら決して触れない2本の別々の曲線——双曲線——が現れます。
y = k∕x という式はもう知っている。次はそれを見てみよう。新しいグラフと出会う一番確かな方法は、昔ながらのやり方——表を作り、点をプロットし、つなぐ——だ。すると、これまで描いてきたどの直線とも違う形が現れる。2本の別々の曲線枝が軸に向かって急降下し、そのまま軸に沿って平らになっていくけれど、決して触れない。この形には名前がある——双曲線。2本の軸がその漸近線であり、k の符号が2本の枝がどの象限に収まるかを決める。このレッスンのすべては、y = 6∕x の値の表1つから始まる。
グラフの形を理解する最も確かな方法は、いくつかの点を計算して図を浮かび上がらせることだ。y = 6∕x で、6 を割り切れる x の値を選ぼう——計算がきれいに収まる。x = 1, 2, 3, 6 のとき y = 6, 3, 2, 1 となり、負の値はその鏡像になる。
| x | 1 | 2 | 3 | 6 | −1 | −2 | −3 | −6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = 6∕x | 6 | 3 | 2 | 1 | −6 | −3 | −2 | −1 |
(1, 6)、(2, 3)、(3, 2)、(6, 1) … をプロットすると、なめらかな曲線がほぼ自然に描かれる。各点は積で確認できる：1·6 = 6、2·3 = 6、3·2 = 6——プロットしたすべての点で x·y = 6 が成り立つ。
y = k∕x をグラフに描くには：都合のよい x の値（k の約数が一番楽）を選び、それぞれ y = k∕x を計算し、点をプロットして、なめらかな曲線でつなぐ——定規で直線を引いてはいけない。
スライダーを動かして x を選ぼう。琥珀色の点が (x, 6∕x) の曲線上にぴったり乗る。x = 0 に近づくと出力が急増する——だから図が2つに分かれるんだ。
これが最初の驚きだ。点をつなぐと、y = kx + b のような直線にはならない。2本の別々の曲線枝が現れる——x と y がともに正の右上と、ともに負の左下に1本ずつ。この二重曲線には名前がある：双曲線だ。
2本の枝は本当につながっていない。x = 0 には点がなく、橋渡しができない。なぜなら y = 6∕0 は値を持たないからだ——これは反比例を定義したときに出会った原点の禁断のスリットだ。だから右の枝からペンでなぞっても、紙から離さずに左の枝へ渡ることはできない。
双曲線は2本の枝からなり、欠けている x = 0 の両側に1本ずつある。枝は別々の曲線であり、つながっていない。
各枝に沿って進んだとき何が起きるか見てみよう。x を 0 に近づけると——たとえば x = 1、0.5、0.1——y = 6∕x は 6、12、60 と限りなく大きくなる。逆に x を大きくすると——x = 6、60、600——y は 1、0.1、0.01 と0 に向かって滑っていくが、決して届かない。
つまり各枝はスリット付近ではy 軸に寄り添い、遠くではx 軸に寄り添い、限りなく近づくが決して触れない。曲線がこのように近づいていく直線を漸近線と呼ぶ。y = k∕x では漸近線はちょうど2本の座標軸——どのグリッドにも最初から描かれているあの軸だ。
「決して触れない」とは近似ではなく正確な事実だ。y = 6∕x はどんな x の値でも 0 にはならない（分数が 0 になるのは分子が 0 のときだけ、そして分子は 6 だ）。また x = 0 では定義されない。よって曲線はどちらの軸にも交わらない。
枝は平面のどの角に収まるのだろう？積の形で考えれば決まる。x·y = k なので、k > 0 ならば x と y は同じ符号でなければならない——積が正になるのは両方正か両方負のときだけだ。
両方正なら第Ⅰ象限（右上）、両方負なら第Ⅲ象限（左下）だ。よって k > 0 の双曲線はⅠと Ⅲに収まる。y = 6∕x の場合：x が正の値を増していくにつれ y は減るが正のまま（第Ⅰ象限の枝）、第Ⅲ象限の枝はその原点対称な鏡像だ。
k > 0 ⇒ 枝は第Ⅰ・Ⅲ象限に収まる（x と y が同符号の領域）。
k を正・負の値にステップさせてみよう。枝は Ⅰ・Ⅲ と Ⅱ・Ⅳ の間を跳び回る——でも形は変わらない。
k の符号を逆にすると、同じ論理が逆向きに走る。k < 0 なら x·y = k が負になるので、x と y は異なる符号を持たなければならない。これで枝は第Ⅱ象限（x < 0, y > 0、左上）と第Ⅳ象限（x > 0, y < 0、右下）に収まる。
例題：y = −6∕x。x = 2 のとき y = −3（第Ⅳ象限）、x = −2 のとき y = 3（第Ⅱ象限）。上のスライダーを負の値にステップさせるとこれがよく分かる。曲線の形は k > 0 の場合とまったく同じ——変わるのはどの2つの象限を占めるかだけだ。
| k の符号 | 同符号 / 異符号 | 象限 |
|---|---|---|
| k > 0 | x と y は同じ符号 | Ⅰ & Ⅲ |
| k < 0 | x と y は異なる符号 | Ⅱ & Ⅳ |
双曲線の形はどの k ≠ 0 でも同じだ。k の符号が変えるのはどの象限ペアに枝が収まるかだけ——「形」と「場所」を混同しないように。
点 (−2, 3) はどの反比例のグラフ上にあるか？積を確認する：(−2)(3) = −6。よって k = −6 で、点は y = −6∕x 上にある——第Ⅱ・Ⅳ象限を通る k < 0 の曲線だ。y = 6∕x 上にはない。そちらの点はすべて x·y = +6 を満たす。
y = k∕x のグラフを描くには表を作り、点の組をプロットし、つなぐ——すると直線ではなく双曲線が現れる。禁断のスリット x = 0 の両側に2本の別々の枝があり、枝は決してつながらない。各枝は両軸に寄り添い——無限に近づきながら決して触れない——ので、x 軸と y 軸が漸近線だ。k の符号が枝の位置を決める：k > 0 なら第Ⅰ・Ⅲ象限（x と y が同符号）、k < 0 なら第Ⅱ・Ⅳ象限（異符号）だ。形は常に同じ、変わるのは場所だけ。次はこの曲線の性質をグラフから直接読み取ろう。
x = 1, 2, 4, 8 のとき y = 8∕x の表を完成させよ。
y = 8, 4, 2, 1。（それぞれ 8 ÷ x で求まり、各組で x·y = 8 が成り立つ。）
y = 5∕x のグラフはどの象限に収まるか？
第Ⅰ・Ⅲ象限。k = 5 > 0 なので、x と y は同符号でなければならない。
y = −10∕x のグラフはどの象限に収まるか？
第Ⅱ・Ⅳ象限。k = −10 < 0 なので、x と y は異符号になる。
y = 3∕x のグラフは x 軸に触れることがあるか？ 説明せよ。
ない。 x 軸に近づくが決して届かない——3∕x はどんな x の値でも 0 にならない。座標軸はこの曲線の漸近線だ。
双曲線には枝が何本あるか？
2本。 欠けている点 x = 0 の両側に1本ずつあり、決してつながらない。
点 (−2, 3) は y = 6∕x と y = −6∕x のどちらの反比例のグラフ上にあるか？
y = −6∕x。(−2)(3) = −6 より k = −6。（y = 6∕x 上の点はすべて x·y = +6 を満たす。）
6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップして。
このレッスンは y = k∕x という式を図に変え、図がすべてを語る。核心的なアイデアは、反比例のグラフが双曲線——漸近線として軸に近づくが決して届かない2本の別々の曲線枝——になるということ。k の符号が象限ペアを決める（k > 0 → Ⅰ・Ⅲ、k < 0 → Ⅱ・Ⅳ）。これはこのコースで初めて登場する直線ではない曲線であり、変化率が一定でない初めてのグラフでもある。
注意すべきよくある誤解は3つある。生徒はしばしば x = 0 をまたいで2つの枝を線分でつなごうとする——そこには点がないため枝はつながれないと強調しよう。多くの生徒が曲線はいつか軸に触れると思っている——k∕x は決して 0 にならず x = 0 では未定義なので、無限に近づくだけで届かない。そして符号ルールが逆になる——積 x·y = k に戻って考えよう：正の k は同符号（Ⅰ・Ⅲ）を強制し、負の k は異符号（Ⅱ・Ⅳ）を強制する。
この内容は米国 Common Core 規格 8.F.A.3 および F-IF.C.7（関数をグラフ化して主な特徴を解釈する——ここでは直線ではなく曲線）、F-IF.B.4 および F-IF.B.5（定義域と端の挙動、漸近的な振る舞いを含む）、8.F.B.5（グラフを定性的に記述する）に対応する。