2つの量の積が一定のとき、一方が増えるともう一方は減ります。y = k∕x、そして x = 0 という禁断の点について学びます。
一次関数は一定のペースで進みます——x が 1 増えると y は常に同じ量だけ変わります。でも、決まった量を分ける場面を考えてみましょう。12 ドルで買い物をするとき、1 個の値段が高いほど買える数は少なくなります。面積が決まった花壇を作るとき、長くするほど幅は狭くなります。このとき 2 つの量は同じ量を足しながら変わるのではなく、積が一定になるように変わります。つまり一方が 2 倍になると、もう一方は半分になります。これが反比例で、y = k∕x と書きます。このレッスンでは、積 xy = k が一定であること、k ≠ 0 という定義、3 つの等価な表し方、1 つの点から k を決める方法、そして x が絶対に取れない値について、一から丁寧に学んでいきます。
これまでに 2 つの変数の対応の仕方を学びました。正比例 y = kx と一次関数 y = kx + b では、一定の増加量が x と y を結びつけています。x が 1 増えると y は常に同じ量だけ変わります。今度は、まったく別の結びつき方を見てみましょう。
まったく同じ商品を 12 ドル ちょうどで買うとします。1 個 12 ドルなら 1 個買えます。1 個 6 ドルなら 2 個、1 個 4 ドルなら 3 個買えます。1 個の値段が上がるほど買える個数は減っていきます——そして、ある法則が隠れています。値段 × 個数 = 12 が常に成り立つのです。
| 個数 | 1個の値段（$） | 積 |
|---|---|---|
| 1 | 12 | 12 |
| 2 | 6 | 12 |
| 3 | 4 | 12 |
| 4 | 3 | 12 |
| 6 | 2 | 12 |
2 つの量の積が一定のまま——一方が増えるともう一方がちょうど減る——とき、この 2 つの量は反比例の関係にあります。
図形でも同じことが起こります。面積が 12 で固定された長方形で、縦の長さ L を変えてみましょう。面積を 12 に保つには、横の幅をそれに合わせて変えるしかありません。長さ 1 → 幅 12、長さ 2 → 幅 6、長さ 3 → 幅 4、長さ 4 → 幅 3。縦に長くするほど横は狭くなりますが、縦 × 横 = 12 は常に成り立ちます。
下のスライダーで長さを動かしてみましょう。長方形の角（琥珀色の点）はなめらかな曲線を描きます——緑の長方形の面積は変わりません。
積が一定——xy = k と書きます——これが反比例の核心です。この式を手放さないでください。他のことはすべてここから導けます。
いよいよ正式に名前をつけましょう。反比例関数とは
y = kx （k ≠ 0 は定数）
定数 k は比例定数と呼びます。
この関数の特徴的な性質は xy = k から直接導けます。積が変わらないのだから、x を 2 倍にすると y は半分になり、x を 3 倍にすると y は 3 分の 1 になります。面積が固定された長方形の場合、k = 12 なので y = 12∕x です。2 つの点を見てみましょう。x = 2 のとき y = 6、x を 2 倍の 4 にすると y は 3 に下がります——ちょうど半分です。なぜなら 4 · 3 = 12 が変わらないからです。
同じ関係を 3 つの形で表せます。慣れてくると、どの形でも一目でわかるようになります。
| 形 | 式 | 読み方 |
|---|---|---|
| y について解いた形 | y = k∕x | 出力は k を x で割ったもの |
| 負の指数の形 | y = kx⁻¹ | 同じ意味（x⁻¹ = 1∕x なので） |
| 積の形 | xy = k | 2 つの量の積が一定 |
場面に応じて使いやすい形を選びましょう。出力を求めるなら y = k∕x、式の構造を見抜くなら y = kx⁻¹、点を確認したり k を求めたりするなら xy = k が便利です。
積の形 xy = k は、ある点がグラフ上にあるかどうかを確かめる最速の方法です。座標を掛け算して k になれば OK。(4, 3) は y = 12∕x 上にある？ 4 · 3 = 12 ✓ ——はい、あります。
xy = k の便利なところはここです。k = x·y なので、1 組の対応する値 (x₀, y₀) があれば関数全体が決まります。2 つの座標を掛け合わせて k を求め、y = k∕x と書くだけです。積が 1 つ決まれば定数が 1 つ決まり、定数が 1 つ決まれば曲線全体が決まります。
例題。反比例のグラフが (2, 6) を通るとします。すると
k = x₀·y₀ = 2 · 6 = 12、 よって y = 12∕x。
別の点で確かめましょう。(3, 4) はこのグラフ上にありますか？ 3 · 4 = 12 ✓ ——はい、あります。下で自分の組を作って、どんな曲線が決まるか確かめてみましょう。
1 点が反比例全体を決めます。積が 1 つ決まれば k が決まるからです。k = x₀·y₀、そして y = k∕x。
x が絶対に取れない値が 1 つあります。分母はゼロになれないので、y = k∕x では x ≠ 0 でなければなりません。定義域は 0 以外のすべての実数で、{x | x ≠ 0} または区間の言葉では (−∞, 0) ∪ (0, ∞) と書きます。
図形的には、曲線は原点に隙間をもって生まれます。y 軸を決して越えません。また k ≠ 0 なので、出力 y = k∕x も 0 になることはなく、値域は y ≠ 0 です——曲線は x 軸にも触れません。2 つの軸は、グラフが近づくけれど決して届かない線です。
x = 0 には出力がまったくありません——たった 1 つの欠損値が、グラフが 1 本ではなく2 つの部分に分かれる理由です。この発見は次のレッスンで待っています。
反比例は一定の増加量を持つ一次関数の対になる存在です。一定の増加の積み重ねではなく、2 つの量が一定の積を保ちます。
y = 8∕x は反比例関数ですか？そうなら k はいくつですか？
はい——y = k∕x の形で定数が 0 でないので、k = 8 です。
反比例のグラフが (3, 5) を通ります。k と式を求めましょう。
k = x₀·y₀ = 3 · 5 = 15、よって y = 15∕x。
y = 12∕x で、x = 4 のときと x = −6 のときの y を求めましょう。
x = 4 のとき：y = 12∕4 = 3。x = −6 のとき：y = 12∕(−6) = −2。（積を確認：4·3 = 12、(−6)(−2) = 12 ✓。）
xy = 20 を y = k∕x の形に書き直しましょう。k はいくつですか？
両辺を x で割ります（x ≠ 0）：y = 20∕x、よって k = 20。
y = 6∕x で、x が 2 から 4 に 2 倍になったとき、y はどうなりますか？
y は 6∕2 = 3 から 6∕4 = 1.5 へ——半分になります（3 → 1.5）。積 xy = 6 が一定でなければならないからです。
y = 7∕x の定義域は何ですか？また、なぜそうなりますか？
x ≠ 0——ゼロで割ることはできないので、x = 0 には出力がありません。区間で表すと (−∞, 0) ∪ (0, ∞)。
6 問で理解を定着させましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
ここでの大きな転換は、加法的な対応から乗法的な対応へのシフトです。一次関数は 1 ステップあたりの差が一定であるのに対し、反比例関数は積が一定です。すべての主張を 1 つの式 xy = k（3 通りに読める）に根拠づけることで、学習者は暗記ではなく導き出すことができます。x が 2 倍なら y は半分、1 点があれば k = x₀·y₀、x は 0 になれない（分母が 0 になれないから）。
注意すべき誤解は、反比例を直線のように足し算で考えてしまうことです。実際には掛け算の関係です。y = k∕x（反比例）のところで y = kx（正比例）と書いてしまう学習者は、2 つの関数族を取り違えています。2 つのガードレールがこれを防ぎます。積のテスト（x と y の積が一定か、差が一定か？）を徹底すること、そして k = 0 や x = 0 を見逃さないことです——どちらも定義を壊します。禁断の点 x = 0 は些細な例外ではなく、グラフが 2 つに分かれる根本的な理由です。
Common Core 対応。このレッスンは 7.RP.A.2（比例関係の認識と表現——ここでは反比例の場合）、8.F.A.1 / F-IF.A.1（関数は各入力に対してちょうど 1 つの出力を対応させる；定義域から x = 0 は除かれる）、A-CED.A.2（説明された関係から y = k∕x を書く）をサポートします。