「等しい」だけでは足りないとき — 「大きい」「小さい」を表す記号と数直線の見方。
「等しい」はすばらしい言葉だが、それが教えてくれるのは2つのものがぴったり一致するときだけだ。現実はほとんど、ぴったり一致しない。あなたはクラスメートより少し背が高い。前方の橋は最大5トンまでと決められている。大きなすべり台に乗るには少なくとも12歳以上でなければならない。これらはどれも「等しい」ではなく、「大きい」「小さい」「以下」「以上」だ。数学にはこれらを表す短くて鋭い記号がある。読めるようになれば、ごちゃごちゃした不平等な世界をすべて表現できる。
このレッスンが終わるころには、4つの不等号記号 > < ≥ ≤ を迷わず声に出して読み、日常の文をどれかに変換し、数直線の上でその意味を絵として描き、「どちらの数が大きいか？」を引き算という1つのきれいな技で解決できるようになる。Stage 12 全体を通じて、色のルールを統一する： 青は数直線と変数、琥珀色は大きい側または境界値、緑は「ここが解」（解集合）、赤は落とし穴または許されない値。色に注目すれば、図が自分で語りかけてくる。
測れるものを2つ選べば、ほぼ必ずどちらかが大きい。あるリュックは重い。あるランナーは速い。ある値段は安い。2つの量を比べるとき、ほぼすべての場合を4つの言葉でカバーできる：より大きい、より小さい、以上、以下。それぞれに記号があり、声に出して読む名前がある。
2つの狭義の記号は「または等しい」なしで比べる： > はより大きい（大なり）、< は より小さい（小なり）。だから 7 > 4 は 「7は4より大きい」と読み、4 < 7 は 「4は7より小さい」と読む。同じ事実を両側から言っただけだ。
2つの広義の記号は「または等しい」を加える： ≥ は以上（大なりイコール）、≤ は 以下（小なりイコール）。日常語で「以上」「～より少なくない」と言うときは ≥、「以下」「～を超えない」と言うときは ≤ を使う。記号の下の横線は「または等しい」という約束だ：境界の値そのものが解に含まれる。
覚えておく価値がある読み方のコツが1つある。記号にはとがった（小さい）端と開いた（大きい）端がある。とがった端は常に小さい方の数を指す。開いた端は大きい方に向く。だから 4 < 7 では先端が4（小さい方）を向き、7 > 4 でも同じく4を向く。記号はいつも大きい方を食べたがっている「口」のようなものだ。
不等式は大小の順序についての文だ — どちら側が大きいか。 > 「より大きい」、< 「より小さい」、 ≥ 「以上 / ～より小さくない」、≤ 「以下 / ～を超えない」。とがった先端は小さい方の数を指す。
「エレベーターの定員は8人以下」→ 最大8人 → p ≤ 8（8人でもOK）。 「12歳以上で乗れる」→ 12未満はだめ → age ≥ 12（ちょうど12歳でも乗れる）。
記号を読むことは仕事の半分にすぎない。より役に立つもう半分は逆方向 — 文を取ってその中に潜む不等式を書くことだ。翻訳全体は2つの問いに帰着する：どちら向き（大なり？小なり？）と境界値そのものが含まれるか（狭義か広義か）。この2つを正しく判断できれば完成だ。
未知量に名前をつけてから、キーフレーズを変換しよう：
| 文 | 不等式 | 境界値を含む？ |
|---|---|---|
| 「18歳以上」 | x ≥ 18 | はい — 18も含む |
| 「速度は120を超えてはならない」 | v ≤ 120 | はい — 120でもOK |
| 「30人未満の生徒」 | n < 30 | いいえ — 30は多すぎる |
| 「5トン以下」 | w ≤ 5 | はい — ちょうど5もOK |
決定的な言葉はフレーズの中に潜んでいる。「以上」「～より少なくない」は境界値を含むので ≥。「以下」「～を超えない」「超えてはならない」も境界値を含むので ≤。しかし「未満」「より多い」「超える」「未満の」は境界値を含まない — それが狭義の記号、< と > だ。
「18歳以上」は x > 18 ではない — それだと18歳の人が締め出されてしまう。正しくは x ≥ 18。このレッスン全体で最も多いミスは「または等しい」の線を落とすことだ。常に問おう：境界値そのものは含まれるか？ 含まれるなら ≥ または ≤ を使う。
記号はすっきりしているが、図が直感を与えてくれる。ものさしのように数を直線上に並べ、小さい数を左に、大きい数を右に置く。すると大小の順序が指差せる形になる。不等式の全てはこの図の上に成り立つ。だからこの図を完全に信頼しよう。
1文で表せるルールで、これは絶対に裏切らない：
a < b とは、単に数直線上でaがbの 左にあるということだ。大きい数は常に右にある。 任意の2数を比べるには、どちらが左か、と問うだけでいい。
例えば 2 < 5 は、2が5の左にあるから — 驚きはない。この図が真価を発揮するのは負の数のときで、直感が嘘をつくことがある。
−5 と −2、どちらが大きい？ 数字の5は2より大きいので、−5の方が大きいと感じる。そうではない。 数直線上で−5はもっと左にあるので −5 < −2 だ。 温度計をイメージしよう：−5°は寒い、つまり低い、つまり小さい。左に行けば行くほど数は小さくなる — 数字が大きく見えても。
数直線は整数にはとても便利だ。でも 57 と 710 をどう比べる？ 目で見てもわからない。どんな2数に対しても常に機能する方法がある：一方からもう一方を引いて、答えの符号を読む。
a と b を比べるには a − b を見る：
a − b > 0 ⇒ a > b · a − b = 0 ⇒ a = b · a − b < 0 ⇒ a < b
なぜ機能するか：aが大きければbを引いても余りがあるので差は正。aが小さければ引きすぎるので差は負。引き算が「どちらが大きいか？」を「これは正か負か？」という簡単な問いに変える。
では分数。引き算をきれいにするために通分する。分母は7と10なので70を使う：
同じ技は数だけでなく式全体にも使える — そこで真の力を発揮する。任意の数 a を取り、a² + 1 と 2a を比べよう。引き算すると：
a² + 1 − 2a = (a − 1)² ≥ 0
2乗は決して負にならない — 中身が0のときだけ0だ。だから (a − 1)² はどの a でも正で、a = 1 のときだけ0だ。つまり a² + 1 − 2a は決して負にならない。これは次を意味する：
a² + 1 ≥ 2a はすべての数 a に対して成り立つ。両辺が等しくなるのは a = 1 のときだけだ。 確かめよう：a = 3 のとき左辺は10、右辺は6（10 ≥ 6 ✓）； a = 1 のとき両辺は2（等しい ✓）。引き算と「2乗は決して負にならない」だけを使って、無限に多くの数に対して成り立つ不等式を証明したのだ。 こういったアイデアは 12.6 でまた登場する。
不等式は大小の順序についての文だ。> と < は狭義（境界を含まない）；≥ と ≤ は広義（境界を含む）— 「以上」「以下」を表す記号だ。とがった端は常に小さい 方の数を指す。数直線上では、a < b は単にaがbの左にあることを意味し、左に行くほど常に小さくなる — −5 < −2。数が難しくて目で判断できないときは、差の方法で決める：引いて符号を読む — 正なら最初の数が大きく、負なら小さい。この1つの技が a² + 1 ≥ 2a をすべての数に対して証明してくれる。
ここまで不等式は「確認する文」だった。次の 12.2 では不等式を変形する — 真を保ちながら両辺に何を加え、引き、かけ、割ってよいか。1つだけ全体をひっくり返す操作があって（負数でかける）、それがこのStageの主役になる。その後は： 12.3 解き方、 12.4 連立不等式、 12.5 二次不等式、 12.6 基本不等式、 12.7 実生活の応用。
Read each aloud, then say which number is bigger: (a) 9 > 4 (b) −1 < 6 (c) 0 > −3.
不等式に変換しよう。未知数には x を使う（指定がある場合はそちら）： (a)「18以上」；(b)「5トン以下（w を使う）」；(c)「30人未満（n を使う）」； (d)「速度は120を超えてはならない（v を使う）」。
「身長 1.4m を超える人だけ乗れます」という掲示がある。不等式で書き（h を使う）、ちょうど 1.4m の子どもが乗れるかどうか答えよう。
次の数の組を小さい順に並べよう： (a) 3, −4, 0, −1；(b) −2, −7, −5。
> または < を入れよう： (a) −5 □ −2；(b) −8 □ −10； (c) −1 □ 0。
差の方法を使って 57 と 710 を比べよう。引き算の過程を示すこと。
引き算を使って 3 + 2 と 4 を比べよう。
すべての数 a に対して a² + 1 ≥ 2a が成り立つことを示し、両辺が等しくなるのはいつかを答えよう。
箱には鉛筆が少なくとも6本、多くとも10本入る。個数 p を使って1つの不等式で表し、あり得る値をすべて列挙しよう。
正しいか誤りか、1行で理由を述べよう： (a)「50以上」は x > 50 と同じ； (b) a − b < 0 ならば a < b。
6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップしよう。
この入門レッスンは CCSS 6.EE.B.5（不等式を解くとは、それを真にする値を見つけることを理解する）と 6.EE.B.8（現実的な制約を x > c または x < c の形の不等式で表し、そのような不等式が数直線上の集合として示される無限に多くの解を持つことを認識する）を対象とする。また 7.EE.B.4（不等式を使って問題をモデル化・解く）の基礎を築く。数直線の図と差の方法を今ここで意図的に導入するのは、12.3 での解き方の学習が、記号の丸暗記ではなく意味に基づくようにするためだ。
最も多い誤解は狭義と広義の混同 —「以上」「以下」を ≥/≤ の代わりに >/< と読むこと — および記号の向きの読み誤りだ。対処法を自動化するまで繰り返す：記号のとがった（小さい）端は小さい方の数を指し、「以上 / 以下」は常に境界を含むので ≥/≤ を使う。どんな変換でも、境界値そのものを代入して含まれるべきかを確認するのが素早いチェック方法だ。