直線と双曲線を同じ座標平面に置く：二次方程式を解けば交点が見つかり、どちらが上かがわかり、交点から整然とした三角形が生まれる。
このストランドの二つの関数の仲間 — ステージ 21 の直線と今ステージの双曲線 — が同じ座標平面で出会う。その出会いは奥が深い。どこで交わるのか？ k∕x を ax + b と等置して分母を払えば、問いは二次方程式に変わる — ステージ 11 の代数が再び活躍する。交点がわかれば、各区間でどちらのグラフが上かを問えるし、一点が軸と切り取る三角形の面積を求めることもできる。さらに既知の交点から逆算して両方のグラフを特定することさえできる。ここでは直線が曲線を読む道具になる。
両方のグラフ上にある点は、両方の方程式を満たさなければならない。だから y = k∕x と y = ax + b の交点は、連立方程式 { y = k∕x, y = ax + b } の連立解に他ならない — 両方の式を同時に満たす (x, y) の組だ。
図形的にはまだ計算は要らない：ただ見るだけでよい。琥珀色の直線が青い曲線を切る点は、どこでも両方のグラフ上にあるから、その座標が連立方程式の解になる。例として使う y = 6∕x と y = −x + 5 は、下の緑の点の二か所で交わっている。
二つのグラフが共有する点は、二つの方程式が共有する点でもある：直線と双曲線の交点は連立方程式の連立解である。共有点 ＝ 共通の解。
交点を正確に求めるには、両辺を等置する — 共有点では二つの y の値が一致するから：
ax + b = kx
k∕x は扱いにくいので分母を払う：両辺を x 倍する。双曲線上では x ≠ 0 なので、ゼロ倍することはなく合法だ。すると
ax² + bx − k = 0
— シンプルな二次方程式になる。因数分解か解の公式で解き、各 y の値を直線 y = ax + b から直接読む。
y = 6∕x と y = −x + 5 を使おう。等置して分母を払う：
−x + 5 = 6x ⇒ −x² + 5x = 6 ⇒ x² − 5x + 6 = 0 ⇒ (x − 2)(x − 3) = 0 ⇒ x = 2 または 3。
直線 y = −x + 5 から y を求める：x = 2 のとき y = 3；x = 3 のとき y = 2。交点は (2, 3) と (3, 2)。曲線で確認：2·3 = 6 ✓、3·2 = 6 ✓。
交点はいくつ？ ax² + bx − k = 0 の実数解の個数と同じ：二次方程式は実数解を2個・1個・0個もつので、直線と双曲線は2点・1点・0点で交わりうる。下のウィジェットで三通りを試してみよう。
x 倍するとき、項の順に気をつけよう：ax + b = k∕x は ax² + bx − k = 0 になる（k は移項してマイナスになる）。ここで符号を間違えると、二次方程式全体 — つまりすべての交点 — が狂ってしまう。
交点そのものより、どの区間で k∕x が ax + b より大きく、どこで小さいかを比べたい場合が多い。グラフを見れば一目瞭然 — x のどの区間でも、高く描かれているグラフのほうが値が大きい。そして交点が境界線だ：二つのグラフが等しくなるのはまさにその点なので、そこで順位が入れ替わる。
図から直接読み取ろう。右の枝で y = 6∕x と y = −x + 5 を比べると：x = 2 と x = 3 の間では直線が上；0 < x < 2 と x > 3 では曲線が上。これ以上の計算は不要 — 交点が区間を整理してくれた。上の meet ウィジェットも、交点の間でどちらが上かを表示する。
高いグラフ ＝ 値が大きい。交点は x 軸を「曲線が上」と「直線が上」が交互に現れる区間に分ける — 交点を求めてから、各区間でどちらが勝つかを読み取ろう。
双曲線が教えてくれる小さな驚きがある。曲線上の任意の点 P(x, k∕x) から x 軸に垂線を下ろし、足を A(x, 0) とする。O、A、P を結んで直角三角形を作る。底辺は軸に沿った長さ |x|；高さは垂線の長さ |k∕x|。すると
面積 = ½ · 底辺 · 高さ = ½ · |x| · |k∕x| = ½|k|
— x が消えた！ 面積は P が曲線上のどこにあっても一定だ。（P の下の長方形全体の面積が |k| だったことを思い出そう；三角形はちょうどその半分。）y = 6∕x なら、P をどこにずらしても三角形の面積は ½·6 = 3。
y = k∕x 上の任意の点 P について、直角三角形 O–A–P（x 軸に垂線を下ろして原点に戻る）の面積は常に ½|k| — |k| の長方形のちょうど半分という定数だ。
これまでの問題はすべて順方向だった：グラフが与えられたら交点を求める。逆方向に進めば、同じ方程式が未知の係数を回収する手段になる。与えられた交点や、グラフが満たすべき条件は、a・b・k についての方程式に変わる — たいてい解くのにちょうど十分な数だ。
「直線 y = ax + 1 が y = 6∕x と点 (2, 3) で交わる。a と、もう一方の交点を求めよ。」
(2, 3) が両方のグラフ上にあることを使う。曲線上：2·3 = 6 ✓ — k = 6 と矛盾しない。直線上：3 = a·2 + 1 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1。よって直線は y = x + 1。
もう一方の交点は、x + 1 = 6∕x ⇒ x² + x − 6 = 0 ⇒ (x − 2)(x + 3) = 0 ⇒ x = 2 または x = −3 で求まる。新しい解 x = −3 では y = −3 + 1 = −2 なので、もう一方の枝の点 (−3, −2) が得られる。
パターンはいつも同じ：既知の点が両方のグラフ上にあるので、両方の方程式に代入して未知数を解く。あとは好みで連立方程式を仕上げ、二番目の交点も求めればよい。
| 問い | 手順 |
|---|---|
| どこで交わる？ | ax² + bx − k = 0 を解く、y は直線から |
| どちらが上？ | 高さを比べる；交点が境界線 |
| 点からの三角形 O–A–P？ | 面積 = ½|k|、P の位置によらず一定 |
| a・b・k を求める？ | 既知の点を両方の方程式に代入する |
直線 y = ax + b を双曲線 y = k∕x と同じ平面に置くと、一つの操作 — 分母を払う — から四つのアイデアが生まれる：
y = 4∕x と直線 y = x の交点を求めよ。
x = 4∕x と置いて分母を払う：x² = 4、よって x = ±2。交点は (2, 2) と (−2, −2) — それぞれ別の枝にある。
連立方程式 y = 6∕x、y = x + 1 の交点を求めよ。
x + 1 = 6∕x ⇒ x² + x − 6 = 0 ⇒ (x − 2)(x + 3) = 0 ⇒ x = 2 または −3。交点は (2, 3) と (−3, −2)。
y = 6∕x と y = −x + 5 について、右の枝で x = 2 と x = 3 の間ではどちらのグラフが上か。
直線。交点は x = 2 と x = 3；その間では直線が曲線より上（x = 2.5 で確認：直線 2.5、曲線 2.4）。
y = 10∕x 上の点を x 軸と原点に結んで直角三角形を作る。面積はいくつか。
三角形 O–A–P の面積は常に ½|k| = ½·10 = 5 — 曲線上のどこに点があっても同じ。
直線 y = ax が y = 8∕x と (2, 4) で交わる。a を求めよ。
点が直線上にあるから 4 = a·2 ⇒ a = 2；直線は y = 2x。（確認：2·4 = 8 ✓ で (2, 4) は曲線上にもある。）
直線 y = −x − 1 は y = 6∕x と交わるか。理由も答えよ。
−x − 1 = 6∕x ⇒ x² + x + 6 = 0。判別式は 1 − 24 = −23 < 0 なので実数解なし — 直線は曲線に交わらない。交点なし。
6問で理解を確かめよう。正しいと思う答えをタップしてね。
この授業はストランドの二つの関数の仲間を融合させる。最も重要な操作は分母を払うこと：点が y = k∕x と y = ax + b の両方にあるのは ax + b = k∕x のときであり、両辺を x 倍する（曲線上では x ≠ 0 なので合法）と二次方程式 ax² + bx − k = 0 に変わる。あとはすべてステージ 11 の代数：因数分解か解の公式で解き、実数解の個数 — 2・1・0 — が交点の個数になる。「どちらが上か」という問いは読み取り作業になる：高さを直接比べ、交点が順位の入れ替わる唯一の場所だ。
よく見られる誤解は具体的だ。分母を払い忘れる（そしてそれを正当化する x ≠ 0 の条件も見落とす）；k を移項するとき符号を誤り、正しい ax² + bx − k = 0 の代わりに ax² + bx + k = 0 と書いてしまう；そして直線は必ず双曲線と 2 点で交わると思い込む（実際は接線なら 1 点、判別式が負なら 0 点）。面積一定の三角形 O–A–P（面積 ½|k|、22.3 の |k| の長方形の半分）は定番の問題で、答えが点の位置によらない — 一例を測るだけでなく、x が消える理由を証明するよう生徒を促してほしい。
Common Core 対応。この授業は A-REI.C.7 と A-REI.D.11（一次と非一次の方程式の連立；交点が解）、A-REI.B.4（得られた二次方程式を解く）、A-REI.D.10 / F-IF.C.7（グラフから二つの関数を比較する）を支援する。22.3 の反比例グラフとステージ 21 の一次関数ツールの上に構築され、22.5 が反比例を現実の世界に応用する前に、このステージの代数的核心を締めくくる。