割り切れない平方根がある — それが私たちにもっと大きな数の家族を作らせる。
辺の長さが1の正方形を描き、その対角線に糸を張ってみよう。その長さはどれくらい？あなたが知っている法則によれば、長さの二乗は 12 + 12 = 2 なので、対角線は二乗して 2 になる数 — つまり √2 だ。それを分数で表そうとしても永遠に探し続けることになる：√2 は何かの 12 ではない。この授業では全く新しい種類の数 — 無理数 — が誕生する。そしてそれを仲間に加えることで、数直線にはついて穴がなくなる。
この授業の色の約束：有理数（分数で書ける数）はティール、無理数はマゼンタ、数直線と目盛りは青、距離・絶対値はアンバー。
平方を逆にする方法はすでに知っているね。面積 9 の正方形の辺の長さは √9 = 3；面積 16 なら 4。これらはきれいに割り切れる。なぜなら 9 と 16 は完全平方数だからだ。では辺が1の正方形の対角線はどうだろう？その長さは √2 — つまり二乗して 2 になる数 — だが、2 は完全平方数ではない。では、この数は何者なのか？
挟み込みで特定してみよう。12 = 1、22 = 4 なので、√2 は 1 と 2 の間にある。1.4 を試すと：1.42 = 1.96 で少し小さい。1.5 では：1.52 = 2.25 で少し大きい。だから √2 は 1.4 と 1.5 の間。さらに小数2桁で挟むと：1.412 = 1.9881、1.422 = 2.0164 なので、1.41 と 1.42 の間。これを何度でも繰り返せる — 1.414、1.4142、1.41421… — だが挟み込みは目盛りにたどり着かない。桁は永遠に続く。
昔なじみの 13 と比べてみよう。この小数も永遠に続く：0.3333…。でも注目 — それは繰り返す。1 ÷ 3 の長割り算が同じ余りを出し続けるため、同じ「3」が何度も戻ってくる。循環小数は分数を変装させたものに過ぎない。√2 の小数はそれとは根本的に違う：1.41421356237… は一切繰り返さない。それが、√2 がまったく分数ではないという手がかりだ。
「永遠に続く」は無理数の条件ではない。13 = 0.333… も永遠に続くが、立派な有理数だ。境界線は、桁がいずれブロックを繰り返すか（有理数）、決してパターンに落ち着かないか（無理数）だ。
√2 が最簡分数 pq だと仮定しよう。両辺を二乗すると p² = 2q² となり、p² が偶数なので p 自身も偶数、つまり p = 2k とおける。すると 4k² = 2q² なので q² = 2k² — つまり q も偶数。しかし最簡分数なら p と q がともに偶数であることはありえない！仮定が崩れた。だから二乗して 2 になる分数は存在しない：√2 は本当に新しい種類の数だ。
各数の桁数を増やして何が起こるか見てみよう。1/3 と 1/4 は落ち着く；√2 はあなたを驚かせ続ける。
見つけたものに名前をつけよう。無理数とは、小数展開が終わらず繰り返しもしない数のことだ。同じことを別の言い方をすれば、二つの整数の分数 pq として書けない数だ。この二つの説明はコインの表と裏：すべての分数は終わる小数または循環小数を生み出すので、どちらでもない小数は分数から来ることができない。
最も有名な無理数は π = 3.14159265358979… だ。円周と直径の比で、その桁は誰もパターンを見つけられないまま続く — パターンが存在しないからだ。ほとんどの整数の平方根も仲間入りする：√2、√3、√5、√6 はすべて無理数だ。完全平方数の平方根だけがきれいに割り切れて有理数になる。例えば √9 = 3 や √25 = 5 のように。
すべての平方根が無理数なわけではないし、「見た目が難しい」数がそうとも限らない。√9 = 3 は有理数；2.5 と 0.375 は終わるので有理数だ。電卓が √2 = 1.4142136 と表示するのは単に丸めたもの — 数そのものではなく、終わりのないパターンのない桁の断片に過ぎない。
各数をタップして、あてはまると思うビンに入れよう。フィードバックに注目 — 紛らわしいものもあるよ。
二つの仲間を並べてみよう — 有理数（すべての分数、すなわちすべての整数と終わる小数・循環小数）と、生まれたばかりの無理数（√2、π、そしてその無限の仲間たち）— 合わせると実数になる。実数とは直線上の点として印をつけられるすべての数だ。これ以降、断りなく「数」といえば実数を指す。
実数はちょうど二つの重ならない仲間に分かれる。一つの「はい/いいえ」の問いで仕分けできる：この数は分数 pq として書けるか？ はい → 有理数。いいえ → 無理数。すべての実数はどちらか一方に入り、両方や「どちらでもない」はない。有理数の中にはさらに構造がある：整数（…, −2, −1, 0, 1, 2, …）、その中に自然数（0, 1, 2, …）；ただし 34 のような有理数の多くは整数ではない。
実数 = 有理数 と 無理数 をあわせたもの。それらの間の境界線は一つの問いだ：分数か否か？
仲間をタップして、そこに誰がいるか — そしてどの大きな仲間にも属しているかを見てみよう。
これが報酬だ。今日まで、数直線には見えない穴があった。ゼロからちょうど辺長1の正方形の対角線分離れた点には名前がなかった — どんな分数もそこに落ちなかった。無理数とはまさにその穴を埋める数だ。今では直線上のすべての点は何らかの実数であり、すべての実数は何らかの点だ。この完璧な対応には名前がある：実数と直線は一対一対応にある。もう隙間はない。
√2 は「1.4 あたりのどこか」に漠然と浮かんでいるのではない。幾何学が固定する正確な住所を持っている：辺長1の正方形を作り、コンパスでその対角線を数直線に向けて弧を描かせると、弧は唯一の真の点 √2 で直線と交わる。1.41421356… という小数はその固定された点を桁ごとに読み取ろうとする試みに過ぎない；点自体は作図によって最初からそこにあった。
実数の直線は隙間なし：各点 ↔ ちょうど一つの実数。無理数は「近似値」ではない — それらは正確な点であり、私たちは書き表すときしか近似しない。
スライダーを動かして対角線の弧を数直線に向けて振り下ろそう。落ちたところで止めて値を読もう。
ステージ5で学んだ反数と絶対値はすべてそのまま使える — 今は無理数にも。原点に関して対称な二つの点は反数だ。√2 の反数は −√2；一方はゼロの右に約 1.414、もう一方は左に約 1.414。数とその反数の和は常に 0：√2 + (−√2) = 0。
絶対値 |x| は 0 から点 x までの距離だ — 距離は決して負にならない。だから |√2| = √2 であり |−√2| = √2 でもある：点とその反数はゼロから同じ距離にあり、ただ反対側にあるだけだ。これは整数で知っているルール — |3| = 3 かつ |−3| = 3 — をそのまま無理数に当てはめたものだ。数が「無限でパターンなし」であることは、原点からの距離には何も影響しない。
絶対値は数をその距離に削ぎ落とすので、答えは決して負にならない — しかし、単に「マイナス記号を消して正にする」という乱暴なやり方ではない。|−√2| = √2 なのは √2 が距離だから；縦棒は「どちら側か」ではなく「どれだけ遠いか」を伝えている。
点をスライドして — √2 の上まで含めて — その反数とゼロまでの距離が一緒に更新されるのを見よう。
辺長1の正方形の対角線は √2、決して繰り返さずに永遠に続く小数を持つ数 — だから分数ではなく、無理数と呼ぶ；π とほとんどの平方根も無理数で、終わる小数と循環する小数（および全整数）は有理数だ。二つの仲間をまとめると実数になり、分数か否か？という一つの問いで綺麗に分かれる。実数は数直線を隙間なく埋める — すべての点 ↔ ちょうど一つの実数 — そして古い道具はそのまま使える：√2 と −√2 は反数で、どちらも原点から距離 √2。
√2 のような無理数が本物の正直な数となった今、平方根の式を計算することを学ぼう — √12 = 2√3 のように簡略化したり、1√2 を √22 に整理したりする。
それぞれ先に解いてから、答えを開いて確認しよう。
6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップしよう。
この授業は米国コモンコア8年生の数体系の規格に対応している：8.NS.A.1 — 有理数でない数を無理数と呼ぶことを知り、すべての数が小数展開を持ち、有理数はちょうど終わるか最終的に繰り返す展開を持つものだと非形式的に理解する；8.NS.A.2 — 無理数の有理近似を使ってその大きさを比較し、数直線上におよその位置を特定する；8.EE.A.2 — √2 が無理数であることを知る。最大の誤概念は「永遠に続く小数」が「無理数」を意味するという思い込み。解毒剤：1/3 = 0.333… を √2 = 1.41421356… のすぐ横に置いて、ただ一つの問いを問う — 桁のブロックは繰り返すか？ 1/3 は繰り返す（有理数）；√2 は落ち着かない（無理数）。電卓の 1.4142136 は丸めたスナップショットであり数そのものではなく、√2 は辺長1の正方形の対角線が固定する一つの正確な点に名前をつけているのだと定着させよう。