比例に「出発点」を加えると y = kx + b が生まれ、原点を離れて y 軸を (0, b) で横切ります。
タクシーに乗った瞬間、メーターはすでに基本料金を表示しています。そこから距離に応じて加算されるので、料金は純粋な比例ではありません——ゼロでない値から始まるのです。比例 y = kx に「出発値」b を加えると、一般的な一次関数 y = kx + b が生まれます。幾何学的には、b はグラフ全体を上下に平行移動するだけです。傾き k は変わらず、y 軸との交点が原点から (0, b) に移動します。前の授業では直線が原点に固定されていましたが、ここで自由にスライドできるようになります。この授業では一次関数を定義し、b を y 切片として読み取り、2 つの点からグラフを描く方法を学びます。
タクシーを想像してください。座った瞬間、メーターにはすでに基本料金 300 円が表示されています。そこから 1 キロごとに 200 円が加算されます。x をキロ数とすると、料金は
y = 2x + 3.
純粋な比例 y = 2x では料金は $0 から始まります。でもこの例では、x = 0 キロの時点ですでに $3 かかっています——比例 y = 2x が 3 だけ上にずれたのです。一定の変化率（1 マイルあたり $2）は変わらず、新しいのは出発値だけです。「固定の出発値＋一定の変化率」こそ、一次関数の形です。
固定の出発値と一定の変化率を合わせると一次関数 y = kx + b になります。k は x が 1 増えるごとに y がどれだけ変わるかを表し、b は x = 0 のときの y の値です。
式が次の形をしているとき、
y = kx + b （k ≠ 0、k と b は定数）、
y を x の一次関数と呼びます。この名前はグラフの形にぴったりです。グラフは常に直線になります。2 つの定数にはそれぞれ役割があります：
• k は傾き——直線の急さと向き（右上がりか右下がりか）を決めます。比例と同じです。
• b は y 切片——直線が y 軸を横切る高さです。
b = 0 のとき、式は y = kx に戻ります——つまり比例は、原点を通る特別な一次関数です。（また k = 0 のとき、y = b という水平な定数関数になります。これは傾きがない直線で、一次関数の仲間には入りません。念のため触れますが、本授業の主役は k ≠ 0 の場合です。）
一次関数は y = kx + b（k ≠ 0）です。グラフは直線で、k が傾き、b が y 切片です。b = 0 の場合は原点を通る比例 y = kx です。
なぜ b が y 切片なのでしょうか？直線が y 軸と交わる瞬間、x = 0 を代入するだけです：
x = 0 ⇒ y = k·0 + b = b.
つまり直線は必ず点 (0, b) を通ります。b を変えると、直線は傾かずにまっすぐ上（b > 0 のとき）または下（b < 0 のとき）にスライドします——傾き k はまったく変わりません。同じ傾きで異なる「持ち上げ」を持つ 3 本の直線は平行です：
y = 2x → (0, 0) を通る； y = 2x + 3 → (0, 3) を通る； y = 2x − 2 → (0, −2) を通る。
b は y の値——y 軸上の高さ——であり、x の値ではありません。直線は y 軸を (0, b) で横切ります。第一座標は常に 0 で、b が高さです。
2 点が決まれば直線が定まります。つまり y = kx + b のグラフを描くには、2 点を求めてプロットし、定規を当てるだけです。最も簡単な 2 点はほぼ常に切片——直線が軸と交わる点——です：
• y 切片 (0, b)——式からそのまま読める；
• x 切片——直線が x 軸と交わる点。y = 0 とおいて求める。
y = 2x − 4 を例にします。y 切片は (0, −4)。x 切片は y = 0 とおいて：
0 = 2x − 4 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2, よって x 切片は (2, 0)。
(0, −4) と (2, 0) をプロットして直線を引けば、グラフの完成です。
b = 0 のとき、2 つの切片が重なって両方とも原点 (0, 0) になります——これでは直線が定まりません。その場合（比例のとき）は原点ともう 1 点、例えば (1, k) を使いましょう。
2 つの交点はどちらも同じ操作から得られます。セットで覚えておきましょう：
| 求めるもの | 代入 | 結果 | 交点 |
|---|---|---|---|
| y 切片 | x = 0 | y = b | (0, b) |
| x 切片 | y = 0 | kx + b = 0 ⇒ x = −b∕k | (−b∕k, 0) |
x 切片は小さな方程式 kx + b = 0 を解くと得られ、x = −bk です。例題：y = −3x + 6。
• y 切片：x = 0 を代入 → y = 6、よって (0, 6)。
• x 切片：y = 0 とおく → 0 = −3x + 6 → 3x = 6 → x = 2、よって (2, 0)。
上の kbslide ウィジェットでは、k と b を変えると両方の切片がリアルタイムで動きます。b をスライドすると y 切片が y 軸上をまっすぐ動き、x 切片 −b∕k は x 軸に沿ってずれていくのを確認してください。
たった一つの変更が、比例を直線の大家族へと変えます：
• 一次関数は y = kx + b（k ≠ 0）。グラフは直線で、k が傾き、b が y 切片です。
• b は平行移動量：直線は y 軸を (0, b) で横切ります。b を変えても傾きは変わらず、直線が上下にスライドするだけです。
• b = 0 のときは原点を通る比例 y = kx；同じ k を持つ直線は平行です。
• グラフを描くには 2 点を使います——最も簡単なのは 2 つの切片：x = 0 → (0, b)；y = 0 → kx + b = 0 を解く → (−b∕k, 0)。
次の授業（21.3 直線を読む）では、k と b の符号が右上がり・右下がり、象限、平行・交差をすべて語ってくれます。（前の授業は 21.1 比例、つまり b = 0 の場合でした。）
一次関数 y = 3x − 5 の傾き k と y 切片 b を答えなさい。
y = kx + b と対応させると：k = 3、b = −5。
y = 3x − 5 は y 軸のどこを通りますか？
x = 0 を代入：y = 3·0 − 5 = −5。y 切片は (0, −5)——これがそのまま b です。
y = 3x − 5 は x 軸のどこを通りますか？
y = 0 とおき 3x − 5 = 0 を解く → 3x = 5 → x = 53。x 切片は (5∕3, 0)——−b∕k = −(−5)∕3 です。
y = 2x + 3 は比例ですか？
いいえ。比例 y = kx は原点を通らなければなりません（b = 0）。ここでは b = 3 ≠ 0 なので、直線は原点を外れ、y 軸を (0, 3) で横切ります。
y = 4x と y = 4x − 7 のグラフはどんな関係ですか？
どちらも同じ傾き k = 4 を持つので、平行です。2 番目のグラフは 1 番目を7 だけ下にずらしたもので、y 軸を原点ではなく (0, −7) で横切ります。
傾き −2、y 切片 6 の一次関数を書き、x 切片を求めなさい。
k = −2、b = 6 → y = −2x + 6。x 切片は y = 0 とおく：−2x + 6 = 0 → 2x = 6 → x = 3、よって (3, 0)。
6 問で理解を確かめましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
この授業は、比例 y = kx から一般的な一次関数 y = kx + b へのたった一つのステップを扱います。核心は、b が縦方向の平行移動であるということ：傾きを変えずに直線を原点から離し、y 軸を (0, b) で横切らせます。k を急さ、b を出発の高さとして読み取ることが、このステージの後続すべての基礎になります——グラフを描くこと、式を逆算すること、直線を方程式・不等式と結びつけること。
気をつけたいよくある誤解が 3 つあります。(1) 生徒はしばしば y = kx + b を「比例」と呼びますが、原点を通る b = 0 の場合のみが比例です。(2) b を x 座標と読んでしまうことがあります。b は y 軸上の高さであり、交点は第一座標が 0 の (0, b) だと強調してください。(3) b を変えると傾きが変わると思い込むことがあります。kbslide ウィジェットでゴースト線と移動後の直線が完全に平行を保つのを見せると、位置だけが動くことが一目瞭然です。グラフを描く際は「2 切片法」を勧めてください。x = 0 と y = 0 の 2 つの小さな計算でグラフが完成します。
Common Core との対応。 8.F.A.3（y = mx + b が直線のグラフを持つ一次関数を定義する）、8.EE.B.6（y = mx + b を導出し、傾きと切片を解釈する）、HSF-IF.B.4 / HSF-IF.C.7a（一次関数の切片を解釈しグラフを描く）。このステージでは m の代わりに k、y 切片として b を使います。