関数に 1, 2, 3, … だけを入力すると、出力が一列に並んで数列になる。
声に出して数えよう：1, 3, 5, 7, 9, … — 奇数が自然な順に並んでいる。これがまさに数列だ。その裏には一つの規則 f(n) = 2n − 1 がある。この規則に位置番号 1, 2, 3, 4, … を次々に入力すると、項が一つずつ飛び出してくる。数列はけっして難しいものではない — 入力を自然数に限定した普通の関数であり、グラフはなめらかな曲線ではなく点の列（位置ごとに一点）になる。このレッスンでは、項・添字 n・一般項 aₙ という言葉を学び、数列を定める二つの方法 — 式で各項を直接指定する方法と、前の項からの変化のしかたを述べる方法 — を身につけよう。
数列とは、数を決まった順序で並べたリストのことだ。一般的に波かっこと総称で {aₙ} と書く。並んでいる数そのものを項といい、数列はその項を順序込みで捉えたもの — 同じ数でも並び方が違えば別の数列になる。
この最後の点こそが数列の核心だ。2, 4, 6 と 4, 2, 6 は同じ三つの数を含むが、数列としては等しくない — 位置が意味を持つからだ。集合 {2, 4, 6} は順序を忘れるが、数列は決して忘れない。（だから数列は「大きさ」だけでなく順序も持つと言われる — Stage 26 の末尾で数に方向が加わりベクトルになるときに活きてくる伏線だ。）
数列には有限なものと永遠に続くものがある。末項を持つリスト — たとえば五回のテストの点数 72, 85, 85, 90, 96 — は有限数列だ。終わりのないリスト — 奇数 1, 3, 5, 7, …（「…」は続くの意）— は無限数列だ。このStageで面白い問いのほとんどは無限数列に関するもの：どこへ向かうのか、最初の n 項をどう合計するか。
数列は数の順序付きリストで {aₙ} と書く。順序はその「正体」の一部：2, 4, 6 ≠ 4, 2, 6。末項があれば有限、永遠に続けば無限。
各項は番号付きのスロットに収まっている。第1項は a₁、第2項は a₂、そしてスロット番号 n の項 — 一般項 — が aₙ だ。下に書く小さな数字が添字（インデックス）：これは位置であって値ではない。たとえば 1, 3, 5, 7, … では a₁ = 1、a₂ = 3、a₃ = 5、a₄ = 7 だ。
二つの役割を混同しないようにしよう。添字 n は「何番目のスロット？」に答え、項 aₙ は「そこにどんな数が入っている？」に答える。二つがほぼ一致することはない：奇数の数列では、スロット n = 4 に入っているのは a₄ = 7 であって 4 ではない。添字が入力、項が出力だ。
3 の倍数の数列 3, 6, 9, 12, 15, … では：a₁ = 3、a₃ = 9、スロット 10 の項は a₁₀ = 30。添字 10 と項 30 は別の数 — 一方は場所を、もう一方は値を示す。
ここで統一的な見方を押さえよう。関数は入力を受け取り、一つの出力を返す。数列もまったく同じことをしている — 入力は位置 n、出力は項 aₙ — ただし一つの制約がある：入力は正の整数のみ、ℕ⁺ = {1, 2, 3, …}。だから正直に書けば
aₙ = f(n)、 定義域 n ∈ ℕ⁺。
この一つの制約がグラフの見た目をがらりと変える。普通の関数 f(x) = 2x − 1 はすべての実数 x — 1.5, π, −3 など — を受け取り、グラフはつながった直線になる。しかし数列が受け取るのは整数だけなので、n = 1 に点、n = 2 に点、n = 3 に点を打ち — その間には何もない。「1.5 番目の項」というものは存在しない。だから数列のグラフは孤立した点の列であり、連続する曲線には決してならない。
数列は連続した曲線ではない。点が直線や曲線の上に乗ることはある — その裏にある規則が薄い青で描かれている — しかし数列そのものは孤立した点だけだ。点を線で結んではいけない。二つの項の間に値はない、なぜなら n = 3 と n = 4 の間に整数はないから。
最初のウィジェットでは規則 aₙ = f(n) を選んで、関数が点の列に変わる様子を確かめよう。読み取り欄には a₁ から a₈ が列挙され、点が上昇・下降・振動のどれかが表示される。
aₙ の式を選ぼう。n = 1, 2, …, 8 を代入して項を点でプロット — 直線では絶対にない。
数列を定める最も直接的な方法は、添字 n を使った aₙ の式ですべての項を一度に命名することだ。あとは代入すれば好きな項が読み取れる：第 100 項が欲しければ n = 100 を代入するだけ。この式を一般項の式（または明示的な式）と呼ぶ。代表的な三例：
| 一般項 | n = 1 | n = 2 | n = 3 | n = 4 | 数列 |
|---|---|---|---|---|---|
| aₙ = 2n − 1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 奇数 |
| aₙ = n2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 完全平方数 |
| aₙ = (−1)n | −1 | 1 | −1 | 1 | ±1 の交互 |
どれも小さな機械だ。aₙ = n2 なら計算は算数だけ：a₁ = 12 = 1、a₂ = 22 = 4、a₃ = 32 = 9、a₄ = 42 = 16。aₙ = (−1)n では −1 のべき乗が一歩ごとに符号を反転させる — n が偶数なら +1、n が奇数なら −1 — だから点は二つの高さを永遠に振動する。(−1)n は「符号を交互に変える」ための標準スイッチだ。
aₙ = n2 − n の第 10 項を求めよう。n = 10 を代入：a₁₀ = 102 − 10 = 100 − 10 = 90。最初の九項を列挙する必要はない — 式が一回の代入でどの項でも与えてくれる。これが明示的な式の力だ。
最初の数項は規則を決定しない。2, 4, 8, … という出だしは 2 倍、aₙ = 2n−1 に見える — しかし 2, 4, 8, 14, 22, …（2, 4, 6, 8, … を加える）と続く可能性もあり、それは aₙ = n2 − n + 2 だ。少数の項から規則を読み取るのは推測であって証明ではない。一般項か漸化式が与えられて初めて数列は確定する。
数列を定める二つ目の方法がある。スロット n の値を直接命名するのではなく、各項を一つ前の項からどう求めるかを述べ、どこから始めるかを指定する。この二つの指示のセットが漸化式だ。古典的な例：
a₁ = 2, aₙ₊₁ = aₙ + 3.
レシピとして読もう。2 から始める。次の項を得るには 3 を加える：2 → 5 → 8 → 11 → 14 → …。最初の行が初期値（出発点がなければレシピは動かない）、二行目がステップ。二つ合わさって、数列を一項ずつ育てる。
明示的な式と漸化式は同じものを表す二通りの記述であり、明確なトレードオフがある：
| 何を教えてくれるか | a₅₀ を得るには | |
|---|---|---|
| 明示的な式 aₙ = f(n) | 任意のスロットの値を直接 | 一回代入：a₅₀ = f(50) |
| 漸化式 aₙ₊₁ = g(aₙ) | 各項が前の項からどう育つか | 49 ステップを順に計算してから |
漸化式はプロセスが自然に生まれる形であることが多い — 銀行残高は先月の残高から、人口は昨年の人口から生まれる — 一方、明示的な式は遠い項を知りたいときに便利だ。Stage 26 の多くは、一方をもう一方に変換する技術だ。
二つ目のウィジェットは漸化式マシンだ：初項 a₁ とステップ d を設定して、項が一つずつ育ち点が現れる様子を見よう。
規則 aₙ₊₁ = aₙ + d の初項 a₁ とステップ d を設定しよう。項を recurVals で育てて点としてプロットする。
項が点になったら、その形が一目でストーリーを語る。各項を次の項と比べよう：
これは図から直接読み取れる。平方数 1, 4, 9, 16, … は上昇し、しかもどんどん速く上昇する（放物線の上に乗っている）。半減する列 8, 4, 2, 1, … は 0 に向かって下降する。交代する列 −1, 1, −1, 1, … は決して落ち着かない — 振動する。上の一般項エクスプローラーが三つのどれかをすでに表示している；各式を試して目で確認しよう。
数列は ℕ⁺ 上の関数なので、点の列として存在する。aₙ と aₙ₊₁ を比べれば単調増加・単調減少・振動を判定できる — 傾きの計算は不要、隣どうしの比較だけでよい。
数列は整数だけを入力にとる関数なので、点の列として現れる — そして二つの補完的な方法で記述できる。
| 概念 | 記号・形式 | 意味 |
|---|---|---|
| 数列 | {aₙ} | 順序付きリスト；2,4,6 ≠ 4,2,6 |
| 項と添字 | aₙ（位置 n） | n = スロット（入力）、aₙ = 値（出力） |
| 特別な関数 | aₙ = f(n)、n ∈ ℕ⁺ | 定義域＝正の整数 → グラフは曲線でなく点 |
| 一般項 | aₙ = n の式 | 一回の代入で任意の項：aₙ = n² → 1,4,9,16 |
| 漸化式 | a₁ + aₙ₊₁ = g(aₙ) | 初項＋ステップ；a₁=2, aₙ₊₁=aₙ+3 → 2,5,8,11 |
| 振る舞い | aₙ, aₙ₊₁ を比較 | 上昇／下降／振動 — 点から読み取る |
忘れてはいけない二つの落とし穴：数列は決して連続した曲線ではないこと、そして最初の数項は規則を決定しないこと。次の 26.2 等差数列では、毎回同じステップ d を加えていく — すると点は完璧な直線に並ぶ。
数列 aₙ = 3n + 1 について、a₁, a₂, a₃, a₄ を書き出し、a₂₀ を求めよ。
各添字を代入する。a₁ = 3·1 + 1 = 4、a₂ = 7、a₃ = 10、a₄ = 13 — 数列は 4, 7, 10, 13, … 第 20 項は列挙不要：a₂₀ = 3·20 + 1 = 61。
数列 1, 2, 3 と 3, 2, 1 は等しいか？一文で説明せよ。
等しくない。同じ数を含むが順序が異なり、数列は順序付きリストなので 1, 2, 3 ≠ 3, 2, 1 だ。（集合としては等しいが、数列としては等しくない。）
数列のグラフが連続した直線ではなく、孤立した点の集まりになるのはなぜか？
数列は定義域が正の整数 ℕ⁺ の関数だからだ。n = 3 と n = 4 の間に入力はなく、したがって項も点も存在しない — グラフは孤立した点であり、連続した曲線ではない。
漸化式 a₁ = 5、aₙ₊₁ = 2aₙ − 1 で与えられる数列の a₂, a₃, a₄ を求めよ。
ステップ aₙ₊₁ = 2aₙ − 1 を繰り返し適用する。a₂ = 2·5 − 1 = 9；a₃ = 2·9 − 1 = 17；a₄ = 2·17 − 1 = 33。数列は 5, 9, 17, 33, …
数列 aₙ = (−1)n·n はどのように始まるか？単調増加・単調減少・振動のどれか？
a₁ = (−1)1·1 = −1、a₂ = (−1)2·2 = 2、a₃ = −3、a₄ = 4 — つまり −1, 2, −3, 4, −5, … 一歩ごとに符号が反転するので振動だ（常に上昇でも常に下降でもない）。
数列が 3, 6, 12, … で始まる。この出だしを両方生み出す異なる二つの規則を挙げ、これが何を示すか述べよ。
一つ目：2 倍、aₙ = 3·2n−1 → 3, 6, 12, 24, … 二つ目：差自体が増加する、例えば aₙ = 数列 3, 6, 12, 21, 33, …（3, 6, 9, 12, … を加える）。どちらも 3, 6, 12 に一致するが、その後は分岐する — これは最初の数項は規則を決定しないことを示す。
6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップしよう。
このレッスンは Stage 26 の冒頭として、数列を正の整数を定義域とする関数 aₙ = f(n) として捉え、そのグラフが離散的な点の集合になることを示す — CCSS HSF-IF.A.3（「数列は整数の部分集合を定義域とする関数であり、漸化式で定義されることもあると認識する」）に直接対応する。明示的な一般項の式と漸化式の対比は、HSF-BF.A.2（等差数列・等比数列を漸化式と明示的な式の両方で記述し、相互変換する）への布石だ。「最初の数項は規則を決定しない」という注意は、MP3（論証の構築）と MP8（繰り返しの規則性を見出し表現する）の習慣を育てる — パターンはあくまで予想であり、まだ証明ではない。