関数ファミリーの新メンバー：最高次が二乗のとき、y = ax² + bx + c（a ≠ 0）。
これまで、入力を出力に変換する関数をいくつか学んできた — 2倍にする、足す、等分する。でも世の中には大きくなるほど速く成長するものがある：正方形の写真の辺を広げると、面積は辺よりもずっと速く膨らむ。この「辺の二乗」という関係こそが、新しい種類の関数への第一歩 — 二次関数だ。このレッスンでは、二次関数を関数ファミリーに迎え入れ、定義 y = ax² + bx + c を書き、a・b・c の読み取り方を学び、最もシンプルな形をグラフで確かめよう。
関数とは、入力 x ひとつに対して出力 y をひとつ返す規則のことで、y = f(x) と書く。すでにいくつかの関数と出会い、それぞれが座標平面に独自の形を描くことを学んだ（関数とグラフでも確認した）：
どれも「1つの規則、1つのグラフ」だ。しかし共通点に気づくだろうか：入力 x はどれも1乗のまま現れる。ここで登場する新しい規則は、入力を二乗する。x² が現れた瞬間、直線は曲線に変わり、ファミリーの新メンバーが誕生する。
関数は y = f(x) という1つの規則で、入力をひとつの出力に変換する。これまでに学んだ直線や緩やかな曲線は、すべて x が1乗のまま現れる。入力を二乗するのが新しいステップ — そしてグラフが放物線に曲がる。
二乗の規則は身近なところに潜んでいる。辺の長さが x の正方形の写真の面積は S = x² だ。辺を1ずつ増やして面積がどう変わるか見てみよう：
| 辺 x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 面積 S = x² | 1 | 4 | 9 | 16 |
| 面積の増加量 | — | +3 | +5 | +7 |
辺は等しいステップで増える — 1, 2, 3, 4 — しかし面積の増え方は不均等だ：+3、次に +5、そして +7。辺が1増えるたびに、面積の増加量はどんどん大きくなる。この加速する不均等な増加こそが二乗の特徴であり、S = x² のグラフが直線のままでなく上へ曲がっていく理由だ。
出力が入力の二乗に依存するとき、x が大きくなるにつれて成長が加速し、グラフは直線でなく曲線になる。これが二次関数の核心だ。
どんな二次の規則も整理すると、いつも同じ形になる。二次関数とは、次のように書ける規則のことだ。
y = ax² + bx + c (a, b, c は定数、a ≠ 0)
ax² の項が二次関数たるゆえん — 最高次数の項であり、グラフを曲げる部分だ。3つの定数にはそれぞれ名前があり、繰り返し使うことになる：
a ≠ 0 は絶対条件。 a = 0 になると x² の項が消えて y = bx + c — ただの直線になり、放物線ではなくなる。二次関数であるためには、二乗の項が必ず残っていなければならない。
a・b・c を読み取るには、まず式を標準形 ax² + bx + c に整理する — 括弧を展開し、同類項をまとめ、次数の高い順に並べる — そのあとは数を読むだけだ。ない項は 0 とする。4つの例で確認しよう：
| 式 | 標準形 | a | b | c | 二次関数？ |
|---|---|---|---|---|---|
| y = 3x² − 5x + 2 | 3x² − 5x + 2 | 3 | −5 | 2 | はい |
| y = x² | x² + 0x + 0 | 1 | 0 | 0 | はい |
| y = 2 − x² | −x² + 0x + 2 | −1 | 0 | 2 | はい |
| y = (x + 1)(x − 2) | x² − x − 2 | 1 | −1 | −2 | はい |
| y = 3x + 2 | 0x² + 3x + 2 | 0 | 3 | 2 | いいえ — 一次関数 |
| y = 1/x + 1 | 多項式ではない | — | — | — | いいえ |
赤い2行は反例だ：y = 3x + 2 は a = 0 なので一次関数；y = 1/x + 1 は x が分母にあるので多項式ですらなく、a と呼べる x² の項が存在しない。
y = (x + 1)(x − 2) の a・b・c を求めよう。展開すると：(x + 1)(x − 2) = x² − 2x + x − 2 = x² − x − 2。よって a = 1、b = −1、c = −2。a ≠ 0 なので二次関数だ。
a = 1、b = 0、c = 0 とすると、すべての二次関数の中でもっともシンプルな y = x² が得られる — 入力を二乗するだけだ。x を −3 から 3 まで変化させた対応表を作ってみよう：
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
7つの点をなめらかな曲線で結ぶと、優雅な椀形 — 放物線が現れる。2つのことが目に飛び込んでくる：
y = x² は基本放物線だ。最低点は原点 (0, 0) で、y 軸について完全に対称に折り畳まれる。他のすべての二次関数のグラフは、この同じ椀形を変形・反転・平行移動したもの — それが次のレッスンの話だ。
y = 4x² − 1 は二次関数か？そうなら a・b・c を求めよ。
はい — x² の項があり係数が 0 でない。標準形は 4x² + 0x − 1 なので、a = 4, b = 0, c = −1。
y = 5x − 2 は二次関数か？理由を説明せよ。
いいえ。 x² の項がないので a = 0 — これは一次関数（直線）であり、二次関数ではない。
y = (x − 3)(x + 1) を標準形に展開し、a・b・c を求めよ。
(x − 3)(x + 1) = x² + x − 3x − 3 = x² − 2x − 3。よって a = 1, b = −2, c = −3。
y = x² で、x = −4 のときと x = ½ のときの y を求めよ。
y = (−4)² = 16；y = (½)² = ¼。（注：(−4)² は正の値 — 二乗するとマイナス符号が消える。）
辺の長さが s の正方形の面積を s の関数として表し、s = 7 のときの面積を求めよ。
面積 A = s²（a = 1, b = 0, c = 0 の二次関数）。s = 7 のとき、A = 7² = 49。
点 (2, 4) と (−2, 4) はどちらも y = x² 上にある。このことはグラフについて何を示しているか？
同じ高さ y = 4 に、y 軸から等距離（x = 2 と x = −2）の点が2つあることは、グラフがy 軸について対称であることを示す — (−x)² = x² なので、入力 x とその反対 −x は常に同じ出力を与える。
6問で理解を定着させよう。正しいと思う答えをタップして。
大きなテーマ。 このレッスンは、ステージ 20〜21 の一次関数・比例に続く関数ファミリーの次のメンバーとして、二次関数 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) を紹介する。2つの具体的な柱がある：面積は辺の二乗に比例して増える（不均等で加速する増加 → 曲がったグラフ）と、基本放物線 y = x²（y 軸について対称、最低点は原点）。生徒は二次関数を見分け、標準形に整理し、a・b・c を読み取れるようになるべきだ。その後の関数ファミリー — 反比例（ステージ 22）や指数・対数関数（ステージ 24）— も同じ「関数マシン」の考え方を発展させる。
注意すべき誤解。 (1) a ≠ 0 を忘れる — 文字が入った式を何でも「二次関数」と呼んでしまう生徒がいる。x² の項が残っていることが必須だと強調しよう。(2) b と c を混同する、またはない項の係数が 0 だということを見落とす（y = 4x² − 1 では b = 0）。(3) (−x)² = −x² と思い込む — 二乗するとマイナス符号が消えることを強調しよう。これがまさに椀形が対称で非負になる理由だ。(4) 曲がって見えるグラフはすべて放物線だと思う；双曲線 y = k/x も曲がっているが、まったく別のファミリーだ。
Common Core 対応。 F-IF.A.1–2（関数記号と評価）、A-SSE.A.1（式の各部分 a, b, c の解釈）、F-IF.C.7a（二次関数のグラフと切片）、F-BF.A.1（状況から関数を構築する — ここでは辺の関数としての面積）。