3辺·3角、この上なく頑丈な枠組み — そして彼らが従わなければならない法則。
3本の直線を端と端でつなぎ合わせると、最も単純な平面図形が生まれます — そして最も強い形です。四角形の骨組みを押すと、傾いた平行四辺形にぐにゃりと変形します。でも三角形を押しても、びくともしません。その頑固な剛性こそ、橋・クレーン・屋根トラスが三角形を組み合わせて作られる理由であり、このStage全体を貫く秘密のエンジンです。三角形を使って証明する前に、まずしっかりと「三角形」と出会いましょう。3辺と3角に名前をつけ、それらが絶対に破れない少数の規則を集めます — 辺がどう関係し合うか、角の和がつねに180°になる理由、三角形の種類の分け方、そして三角形の内部に引ける3種類の特別な線。
一直線上にない3つの点から始めます — このような点を非共線点と呼びます。それらを3本の線分でペアごとにつなぐと、線分が閉じて三角形になります。3つの角の点を頂点（英: vertex、複数形 vertices）、3本の線分を辺と呼びます。
三角形は頂点の名前で呼びます：△ABC。各辺には、それと向かい合う頂点の小文字の名前がつきます — その角に接しない辺のことです：
もし3点が一直線上にあったなら、「三角形」は内部のない線分につぶれてしまいます — だから非共線点であることが必要なのです。そして3辺が決まった瞬間、三角形は変形できません：形が固定されます。四角形の骨組みはゆがむ、三角形はびくともしない。この一つの事実 — 剛性 — こそが三角形を幾何学の基礎ブロックにしています。
どんな3つの長さでも三角形が作れるわけではありません。長さ 1、2、5 の棒を試してみましょう：長い棒を置くと、短い2本を合わせても長さは 3 にしかなりません — 端が届きません。三角形は閉じられません。
この背後にある規則が三角不等式です：どの2辺の和も、残り1辺より長くなければならない。 △ABC では次の3つがすべて同時に成り立つ必要があります：
a + b > c, b + c > a, c + a > b.
2点間の直線は最も短い経路です。B から C へ直接行く距離は a、A を経由して回り道すると c + b かかります。回り道は直線より短くなれませんから c + b > a。残り2頂点でも同じ議論をすれば、残り2つの不等式が得られます。もし2辺の和が第3辺に等しい（2 + 3 = 5）なら、三角形は長い辺の上に平らにつぶれてしまいます。
三角形について最も役立つ事実がここにあります。紙の三角形の3つの角を切り取って、先端を揃えてぴったり並べてみましょう。完全に一直線を敷き詰めます — これが直線角です。つまり、形に関わらずどんな三角形の内角の和も半回転になります：
∠A + ∠B + ∠C = 180°.
頂点 A を通り辺 BC に平行な直線を引きます。辺 AB は横断直線なので、反対側に作る角は ∠B に等しくなります（錯角 — 平行線の性質 を参照）。同様に辺 AC は ∠C に等しい角を切り取ります。これら2つの角と ∠A は A を通る一直線上に並ぶので、合計は 180° — したがって ∠A + ∠B + ∠C = 180°。
三角形は2つの異なる方法で分類されます — 辺による分類と、角による分類です。
三角形には直角または鈍角が最大1つしか存在できません。なぜなら？ 2つの角がそれぞれ 90° 以上であれば、それだけで 180° の予算をすべて使い切って（あるいは超えて）しまい、3番目の角に残りがなくなるからです。
| 鋭角 | 直角 | 鈍角 | |
|---|---|---|---|
| 不等辺 | 5, 6, 7 | 3, 4, 5 | 4, 5, 7 |
| 二等辺 | 5, 5, 6 | 1, 1, √2 | 5, 5, 9 |
| 正三角形 | 6, 6, 6 | — | — |
正三角形はつねに鋭角三角形（すべての角が60°）なので、2つのセルは不可能です。
三角形の一辺を頂点の外まで延長します。その延長線と次の辺の間に、三角形の外側に開く角が外角です。外角はとなりの内角と隣り合っていて — 隣接する2角なので合計は 180° になります。
美しいのは、外角が内側に対して何に等しいかです。外角の定理は次のように述べています：
外角 = 向かい合う2つの（隣接しない）内角の和。
C における内角を ∠C とします。その隣の外角は 180° − ∠C（隣接角）。一方、角の和の公式より ∠C = 180° − (∠A + ∠B) なので、180° − ∠C = ∠A + ∠B。外角は他の2つの内角の和に等しくなります。おまけに、3つの外角（各頂点に1つずつ）の和はつねに360° — 1回転になります。
どの頂点からも、三角形の中へ3種類の特別な線分を引くことができます。それぞれはチェバ線（cevian）の一種 — 頂点から向かいの辺に引く線分です。各種類につき3本ずつ引けますが、ここでは同じ頂点 A から1本ずつ引いてみましょう：
ほとんどの三角形では、1頂点からの高さ・中線・二等分線は3本の別々の線で、向かいの辺上の3つの異なる点に着地します。それらが1本にまとまる特別な場合があります — その頂点から伸びる2辺が等しいとき（二等辺三角形）。そのことは二等辺三角形で詳しく見ます。
三角形は非共線の3点を結ぶ；辺は向かい合う頂点の名前で a、b、c と呼び、形は剛性を持つ。
三角不等式：どの2辺の和も第3辺より大きい — a+b>c（および残り2通り）。そうでなければ三角形は閉じられない。
角の和：∠A+∠B+∠C = 180°、つねに。
種類：辺による — 不等辺 / 二等辺 / 正三角形；角による — 鋭角 / 直角 / 鈍角（直角または鈍角は最大1つ）。
外角 = 向かい合う2つの内角の和；3つの外角の合計は 360°。
チェバ線：高さ（向かいの辺に⊥）、中線（中点まで）、角の二等分線 — 一般には3本の異なる線。
長さ 3、4、5 の棒3本で三角形を作れますか？ 1、2、5 ではどうですか？
3、4、5：短い2辺の和は 3 + 4 = 7 > 5 なので作れます — 閉じられます。1、2、5 の場合：1 + 2 = 3 は 5 より大きくないので作れません — 届きません。
三角形の2角が 50° と 60° です。3番目の角を求めなさい。
3角の和は 180° なので、3番目は 180° − 50° − 60° = 70°。
辺が 5、5、8 の三角形を辺で分類し、角が 40°、40°、100° の三角形を角で分類しなさい。
辺 5、5、8 は2辺が等しい → 二等辺三角形。角 40°、40°、100° には 90° より大きい角が1つある → 鈍角三角形。（和は 180° — 正解！）
三角形の外角に対して、向かい合う2つの内角が 50° と 60° です。外角の大きさを求めなさい。
外角の定理より、向かい合う2内角の和に等しい：50° + 60° = 110°。（確認：隣の内角は 70° で、110° + 70° = 180°。）
三角形の3角が x、2x、3x です。x を求め、角による三角形の名前を答えなさい。
x + 2x + 3x = 6x = 180° なので x = 30°。角は 30°、60°、90° — 直角三角形です。
三角形が直角を2つ持てない理由を説明しなさい。
直角が2つあると 90° + 90° = 180° となり、内角の和の予算をすべて使い切ってしまいます。3番目の角に 0° しか残らず — しかし三角形には3つの本物の角が必要なので不可能です。（同じ理屈で鈍角2つも不可能です。）
6問で理解を定着させましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンは学校幾何学への入り口です：三角形は、本当の意味で論理的に推論できる最初の図形です。3つのアイデアが最も重要です — 三角不等式（どの3つの長さが実際に閉じるか）、180°の内角の和（その背景にある平行線の議論とともに）、そして辺と角による分類。このStageの後半 — 合同・二等辺三角形の対称性・ピタゴラスの定理 — はすべてこれらを土台にしています。
早期に修正すべき誤解が2つあります。1つ目はどんな3つの長さでも三角形を作れると信じてしまうこと；「閉じるか」ウィジェットは失敗を目に見える形にするために存在します — 短い2本の棒が長い棒を渡り切れないとき、三角形は単純に作れません。2つ目は3種類のチェバ線を混同すること：生徒は「高さは中点に行く」「中線は垂直だ」と言いがちです。一般の三角形では高さ・中線・角の二等分線は3本の別々の線です；二等辺三角形（15.5）の場合にのみ一致します。3色で1頂点から全部を引いてみると、区別がつきやすくなります。
対応する学習指導要領：CCSS 7.G.A.2（三角形の決定条件）、8.G.A.5（角の和と外角）、4.G.A.2（辺と角による分類）、HS G‑CO.C.10（三角形の定理の証明、角の和・外角の結果を含む）。