2つの辺が等しければ2つの角も等しくなる — そして3本の特別な線が1本に重なる。
前のレッスンで学んだ「折り畳み」を三角形に持ち込みましょう。三角形に2つの等しい辺を持たせると、中央に対称軸が生まれます — 図形が対称になると、様々な性質が次々と導き出されます。2つの底角は必ず等しくなります。頂点から底辺に引いた1本の線は、高さ・中線・角の二等分線の3つを兼ねます。二等辺三角形は、レッスン15.3の合同とレッスン15.4の反射がついに実を結ぶ場所であり、これからの図形学習で繰り返し活用するツールを与えてくれます。そして、すべての辺と角が等しい — もっともバランスのとれた正三角形への道を指し示しています。
二等辺三角形とは、（少なくとも）2辺が等しい三角形のことです。その2つの等しい辺を脚（腰）、脚が交わる頂点を頂角の頂点（頂点）、残りの1辺 — 脚が共有しない辺 — を底辺と呼びます。底辺の両端にある2つの角を底角と呼びます。
これからのすべてを説明する図がここにあります。頂点 A から底辺の中点まで引いた線に沿って三角形を折ります。2つの脚の長さがまったく同じなので、左半分は右半分にぴったり重なります。脚 AB は脚 AC に重なり、頂点 B は頂点 C に重なります。したがって、二等辺三角形には対称軸があります — レッスン 15.4 で学んだ折り目線のことです。
2つの等しい辺があると、三角形には頂点を通る対称軸が生まれます。このレッスンのすべては、その対称性を声に出して読んだものに過ぎません。
三角形を自分自身に折り重ねられるなら、2つの底角は隠れ場所を失います。折り畳みによって ∠B はちょうど ∠C に重なるので、両者は等しくなければなりません。これが二等辺三角形について最もよく使われる事実です。
三角形の2辺が等しければ、それらの辺に対する角は等しい。記号で表すと：AB = AC ならば ∠B = ∠C。
レッスン 15.3 の合同を使えば、折り畳みなしでも証明できます。頂角の二等分線を底辺との交点 M まで引き、2つの半分を比較します：
| 命題 | 理由 |
|---|---|
| AB = AC | 与えられた条件（2つの脚） |
| ∠BAM = ∠CAM | AM が頂角を二等分する |
| AM = AM | 共通の辺（両方の半分で共有） |
| △ABM ≅ △ACM | SAS |
| ∠B = ∠C | 合同な三角形の対応する部分 |
2つの半三角形は完全な合同ですから、対応するすべての部分が一致します — とくに底角 ∠B = ∠C が等しくなります。結論を一言で言えば：“AB = AC だから ∠B = ∠C（二等辺三角形の底角）”。
二等辺三角形の頂角が ∠A = 40° のとき。3つの角の合計は180°で、2つの底角は等しいので、各底角は (180° − 40°) ÷ 2 = 70°。
レッスン 15.1 で見たように、一般の三角形ではこの3本はそれぞれ異なる方向へ向かいます。頂点から底辺に向かって3種類の特別な線分を引くことができます：
二等辺三角形では特別なことが起きます：3本がまったく同じ線分になるのです。これらはちょうど対称軸上に重なり、底辺の中点 M に到達し、そこで底辺と直交します。15.5.2の証明がすでにその理由を示しています — 合同 △ABM ≅ △ACM から BM = CM（よって AM は中線）、∠AMB = ∠AMC = 90°（よって AM は高さ）が導かれ、さらに最初に頂角を二等分した（よって AM は二等分線）ことがわかります。
二等辺三角形（または正三角形）では、頂点の高さ = 中線 = 角の二等分線がすべて対称軸上に重なります。これは証明でよく使われる近道です：1つを証明すれば、3つすべてが手に入ります。
幾何学のどの性質も、逆向きに読む価値があります。底角定理は「等しい辺 ⇒ 等しい底角」と言います。その逆は矢印を反対向きに読みます：
三角形の2つの角が等しければ、それらに対する辺は等しい。記号で言えば：∠B = ∠C ならば AB = AC — よってその三角形は二等辺三角形です。
「性質」と「判定条件」の違いがここにあります。Stage 14 の平行線で見たのと同じ双方向の扉です。性質は辺から角へ：三角形が二等辺三角形だとわかっているなら、底角が等しいと結論づけられます。判定条件は逆方向で、角から辺へ：2つの等しい角が見えたら、その三角形が二等辺三角形だと結論づけられます。二等辺三角形ではどちらの方向も正しいのですが、どちらを使っているかを明示しなければなりません。
△ABC で ∠B = ∠C = 65° と測定されました。逆定理により、それらの角に対する辺は等しい：AB = AC。この三角形は二等辺三角形です — 誰も直接そう教えてくれなかったとしても。
考えを極限まで押し進めましょう。3辺すべてを等しくすると正三角形になります。もはや「底辺」として特別視できる辺はありません — どの辺でもよいのです。各対の等しい辺に底角定理を順に適用すると3つの角すべてが等しくなり、合計180°となる3つの等しい角はそれぞれちょうど60°でなければなりません。
逆も成り立ちます：3つの角が等しい三角形（等角三角形）は3辺も等しくなります。したがって三角形では等角 = 正三角形です。正三角形はどの頂点を頂点と見なしても二等辺三角形になるので、3通り同時に二等辺三角形です — そして各頂点を通る3本の対称軸を持ちます。
底角とは底辺の上にある2つの角のことです — 頂角ではありません。二等辺三角形では頂角と底角は通常異なります。3つすべてが等しいのは正三角形の場合だけです。
• 二等辺三角形は頂点で交わる2つの等しい脚を持ち、第3の辺が底辺で、頂点を通る対称軸があります。
• 底角定理：等しい脚 ⇒ 等しい底角（AB = AC ⇒ ∠B = ∠C）、2つの半分の SAS 合同により証明。
• 頂点の高さ = 中線 = 角の二等分線 — 底辺の中点への1本の線分で、底辺に垂直です。
• 逆定理 / 判定：等しい底角 ⇒ 等しい辺 — 三角形が二等辺三角形であることを証明するのに使います。
• 正三角形はすべての辺とすべての角が等しく、各角は 60°。3通りの仕方で二等辺三角形であり、3本の対称軸を持ちます。
二等辺三角形の頂角が 40° のとき、各底角を求めなさい。
3つの角の合計は180°で、底角は等しいので、各底角は (180° − 40°) ÷ 2 = 70°。
二等辺三角形の底角が 50° のとき、頂角を求めなさい。
両方の底角が50°なので合計100°。頂角は 180° − 100° = 80°。
正三角形の各角は ____。
3つの角は等しく合計180°なので、各角は 180° ÷ 3 = 60°。
△ABC で ∠B = ∠C = 65° であるとき、辺について何が言えますか？
底角定理の逆より、等しい角の対辺は等しいので AB = AC — この三角形は二等辺三角形です。
二等辺三角形において、頂点から底辺に引いた高さは ____ でもあり ____ でもあります。その理由を説明しなさい。
中線でもあり角の二等分線でもあります。2つの半分 △ABM ≅ △ACM は合同なので、垂足が中点に来る（中線）、頂角が二等分される（二等分線）ことがわかります。
二等辺三角形の2つの底角が 2x と 50° のとき、x を求めなさい。
底角は等しいので 2x = 50°、よって x = 25。
6問で定着させましょう。正しいと思う答えをタップしてください。
このレッスンの核心は「対称性が等しさを生む」という考え方です。2つの等しい辺が三角形に対称軸をもたらし、そのただ一つの事実からここの結果すべてが導かれます：底角が等しくなること、そして高さ・中線・角の二等分線が1本の線分に重なること。底角定理を図を指差すだけでなく、2つの半分のSAS合同で証明することで、生徒は丁寧な論証が「等しく見える」を置き換える様子を理解できます。
注意すべき誤解は2点あります。まず、生徒は「底角」がどの角かを誤ることがあります — 底角は底辺に乗っている2つの角であって頂角ではなく、頂角を底角と同一視するミスがよく見られます。次に、定理が双方向に成り立つことを忘れがちです：性質（等しい辺 ⇒ 等しい角）は既知の辺から角を結論づけ、逆定理 / 判定（等しい角 ⇒ 等しい辺）は三角形が二等辺三角形であることを証明します。どの問題でもどちらの方向を使っているか確認させましょう。
このレッスンは CCSS HS G-CO.C.10（二等辺三角形の底角が合同であることを含む三角形の定理の証明）を支援し、8.G.A.5（三角形の角の関係についての非形式的な論証）を強化します。