負×負がなぜ正になるのか — そして割り算がそのルールをそのまま引き継ぐ理由。
ゼロ に立って −2 のジャンプをするところをイメージしよう — 2 歩左へ進む。正の数を掛けるだけなら、同じ方向に繰り返して伸ばすだけだ。しかし負の数を掛けると、それに加えてジャンプをゼロの反対側へ反転させる。1 回反転すると左向きのジャンプが右を向く；2 回目の反転でまた左に戻る。この「向きを反転する」という一枚の絵が、このレッスンの符号ルールすべてを説明する。
このレッスンが終わると、どんな有理数の掛け算もできるようになり、長い積の符号を負の因数の個数を数えるだけで予測できるようになる。分配法則を両方向に使い、数の逆数を求め、割り算を掛け算に変換する方法も身につく。色の使い方はこれまでと同じ：正の数はティール（青緑）、負の数は赤、ゼロはスレート（灰青）、距離や大きさは琥珀色だ。
掛け算はもともと繰り返しの足し算として生まれた。数が負になってもその意味は変わらない。3 × (−2) を計算するには、−2 を 3 回足す：
3 × (−2) = (−2) + (−2) + (−2) = −6
数直線上では2 ずつ左に向かう 3 回のジャンプだ — −6 に着く。ここまでで唯一新しいのは、繰り返しの 1 ステップ自体が左を向いていることだ。
ここからが核心だ。負の数を掛けると何が起きるのか？ −1 を掛けると数の反数（符号を逆にしたもの）になる — ゼロを挟んで反転するのだ。だから (−1) × (−2) は −2 を +2 に反転する。(−3) × (−2) を求めるには、3 × (−2) の 3 回の左向きジャンプをそっくりゼロで反転させればよい。−6 に着いていたジャンプが今度は +6 に着く。
この反転から、丸暗記しなくても常にイメージで確認できるルールが導かれる。まず符号を決め、次に大きさ（絶対値）を掛ける：
| × | + | − |
|---|---|---|
| + | + | − |
| − | − | + |
符号が同じ → 正。符号が違う → 負。その後で絶対値を掛けて大きさを求める。例：(−4)×(+5) = −20（符号が違う）、(−4)×(−5) = +20（符号が同じ）。
2 つの因数を設定しよう。ジャンプが積み重なっていく様子を見て、因数が負になった瞬間にジャンプがゼロの反対側に反転するのを確認しよう。積はたどり着いた場所だ。
反転のイメージが掴めたら、長い積も怖くない。負の因数が 1 つあるたびに方向が 1 回反転する。偶数回反転すれば前を向いたまま — 積は正。奇数回反転すれば後ろを向く — 積は負。大きさは絶対値の積だ。
積の符号を求めるには、数字をいったん無視してマイナスの個数を数える。例えば (−2)(−3)(−1) には負が3 個あり、奇数なので答えは負、大きさは 2·3·1 = 6 だから −6 になる。
負の個数ルールは符号を決めるが、因数の中に 0 が 1 つでもあれば積全体が 0 になる — 正も負も関係なくなる。まずゼロの因数がないか確認しよう。
各因数を+ と − の間で切り替えよう。負の個数が集計され、値が表示される前に符号が予測される。偶数 → 正；奇数 → 負。
整数で学んだ便利な性質は、負の数へ拡張しても変わらない。掛け算は交換法則が成り立つ — 順序を入れ替えても結果は同じ、(−4)×7 = 7×(−4) — そして結合法則も成り立つ — グループ分けを変えられるので、長い積を計算しやすい順に並べ替えられる。
最も強力なのが、掛け算と足し算を結びつける分配法則だ：
a × (b + c) = a × b + a × c
これは双方向に使える。左から右に読むと括弧を展開できる — 中に負の数があっても同じだ：
−2(3 + (−5)) = −2×3 + −2×(−5) = −6 + 10 = 4。
確認（近道）：先に 3 + (−5) = −2、次に −2×−2 = 4。同じ答え。✓
右から左に読むと共通因数をくくり出せる — 速い暗算の秘訣だ：
7×8 + 7×2 = 7×(8 + 2) = 7×10 = 70。
56 と 14 は両方に因数 7 があるのでまとめて、8 + 2 = 10 という簡単な足し算だけにできる。
a（負でも可）、b、c を設定しよう。a(b+c) が ab + ac に分かれる様子を見て、両方の計算経路が同じ答えになることを確認しよう。
2 つの数の積がちょうど 1 になるとき、その 2 数は逆数の関係にある。数 a の逆数は 1a、分数 pq の逆数は上下をひっくり返した qp だ。例えば 5 の逆数は 15（5 × 15 = 1）、34 の逆数は 43 だ。
符号も一緒についてくる：負の数の逆数は負になる。なぜなら数と逆数の積は正の 1 にならなければならず、そのためには同じ符号が必要だからだ。だから −2 の逆数は −12、実際に −2 × (−12) = 1 になる。
0 に何を掛けても 1 にはならない — 0 との積は常に 0 だ。だから 0 だけが逆数を持たない数だ。（これは次のセクションで見るように、ゼロで割り算できない理由と同じだ。）
いくつかの数をめくってみよう — 整数、分数、負の数。逆数がひっくり返り、符号を保ち、掛け合わせるとちょうど 1 になる様子を見よう — 0 だけは逆数がない。
逆数の学習の成果がここで現れる。ある数で割ることは、その逆数を掛けることと同じだ：
a ÷ b = a × 1b
割り算は掛け算の変装に過ぎないから、全く同じ符号ルールに従う：同符号なら商は正、異符号なら負。新しく覚えることは何もない。
(−12) ÷ 3：異符号 → 負；12 ÷ 3 = 4；答え −4。
(−12) ÷ (−4)：同符号 → 正；12 ÷ 4 = 3；答え 3。
分数の中のマイナス符号の置き場所についても便利な事実がある。分子に付いても、分母に付いても、前に付いても、値はすべて同じだ：
−pq = −pq = p−q
理由はもう一度符号ルールに戻る：負÷正も、正÷負も、どちらも負になる。分子と分母の両方にマイナスがあれば打ち消し合って正に戻る。
2 つの数を設定しよう。a ÷ b を a × (1/b) に書き換え、同じルールで符号を決めて商を表示する。
正の数を掛けるとジャンプが伸び、負の数を掛けると伸びて向きも反転する — だから負が 2 回あると前向きに戻り、同符号 → 正、異符号 → 負になる。長い積は負の個数を数えるだけ：偶数 → 正、奇数 → 負、0 が 1 つでもあれば全体が 0。分配法則 a(b+c)=ab+ac は括弧を展開し共通因数をくくり出す。積が 1 になる 2 数は逆数（分数をひっくり返して符号を保つ；0 に逆数なし）。割り算は逆数との掛け算なので、全く同じ符号ルールに従う。
有理数の四則演算が揃ったところで、次のレッスンでは累乗（繰り返しの掛け算、符号ルールが (−2) の 2 乗がなぜ正になるかを説明する）と、混合式での計算の順序を学ぶ。
まず自分で解いてから、答えを開いて確認しよう。
6 問で理解を固めよう。正しいと思う答えをタップしよう。
このレッスンは有理数の掛け算と割り算を深め、米国コモンコア基準 7.NS.A.2 に対応しています：分配法則と (−1)(−1) = 1 という事実から符号付き積を構築し（7.NS.A.2a）、ゼロでない除数での符号付き商と等価な形 −(p/q) = (−p)/q = p/(−q) を確立し（7.NS.A.2b）、交換・結合・分配の各法則を使いこなして流暢に計算する（7.NS.A.2c）。最もよくある誤概念は「負 × 負 = 負」というものです。その解毒剤はレッスン全体を通じて提示されています：数直線上の2 回反転の絵（負の数を掛けると方向が逆転し、2 回逆転すると前向きに戻る）と、負の個数を数えるルール（負の因数の個数が偶数なら積は正）を組み合わせたアプローチです。