定義域を区間に分け、それぞれに独自の式を与え、つなぎ目の点に注意しよう。
ルールが途中で変わることがある。駐車場は最初の30分は無料で、その後は時間制；スマホのプランはデータ上限まで定額で、超えたら1GBごとに課金。切り替わるルールは一つの式で表せないので、場合に分けて書く——定義域の各区間に異なる式を与え、大きな括弧でまとめる。このレッスンでは場合分け関数の読み方・書き方・グラフの描き方を学び、つなぎ目の白丸と黒丸に注意しながら、最も有名な2ピース関数である絶対値へと進む。
駐車場を想像してみよう：最初の30分は無料、その後は1時間あたり$2。最初の半時間は料金が$0に固定されていて、まだ料金のルールは適用されない。その後は時間とともに$2/時間のペースで増えていく。これは二つの異なるルールが二つの異なる時間区間を支配しているのだから、一本の直線でこの全体を表すことはできない。
無理に一本の直線で表そうとすれば、どちらかの区間で必ず間違いが生じる：0で水平な直線は永遠に$0のままだし、最初から上がる直線は30分前から料金を取ってしまう。正直な記述には区間ごとのルールが必要——最初は水平、その後は上昇。
ルールが途中で変わるとき、一つの式では対応できない。場合に分けて記述しよう：定義域を区間に分け、それぞれの区間に独自のルールを与える。
各ピースを一つの大きな括弧でまとめ、各ルールの横にそれが支配するxの区間を書く。このレッスンを通して使う例はこれだ：
| x + 1 | （ | x < 1 のとき |
| 4 | （ | 1 ≤ x < 3 のとき |
| −x + 7 | （ | x ≥ 3 のとき |
右側の条件がすべての場合分けを担っている。これらは数直線全体をすき間なく重なりなく覆うことに注意しよう：任意の実数xは1より小さいか、1と3の間か、3以上か——どれか一つに必ず当てはまり、同時に二つには当てはまらない。これが正しい場合分けルールの唯一の条件だ。
すべてのxはちょうど一つの区間に属する——条件が重なってもすき間があってもいけない。境界でどちら側が≤を持ち、どちらが<を持つかに注意：ここではx = 1は真ん中の区間に属す（1 ≤ xを満たすから）、最初の区間ではない。
場合分け関数をグラフに描くには、各ピースをその区間だけの上に描く——線分か半直線であり、無限に延びる直線全体ではない。注目すべきポイントはつなぎ目——一つの区間が終わり次の区間が始まる場所だ。つなぎ目では、どちらのピースが端点を含むかを決めなければならない：
黒丸は端点を持つピース（条件に ≤ または ≥ を使う）を表し、白丸は端点に近づくが含まないピース（条件に < または > を使う）を表す。
両ピースが同じ高さに到達する場合、グラフは連続——黒丸一つで十分で、グラフに切れ目はない。異なる高さに到達する場合はジャンプが生じる：下のピースが決して到達しない高さに白丸、実際に取る高さに黒丸。
この関数の二つのつなぎ目を確認しよう。x = 1では：左のピース x + 1 は 2 に向かって上昇するが届かない（条件が x < 1 なので x = 1 に達しない）——(1, 2) に白丸；真ん中のピースは定数 4 でちょうど x = 1 から始まる——(1, 4) に黒丸。高さが異なるので x = 1 はジャンプ。x = 3 では：真ん中のピースは 4 にあり、右のピース −x + 7 も −3 + 7 = 4——同じ高さなのでグラフは連続だ。
つなぎ目では、白丸 = 除外、黒丸 = 含む。両側が同じ高さ ⇒ 連続（黒丸一つ）；異なる高さ ⇒ ジャンプ（下に白丸、上に黒丸）。
場合分け関数の値を求めるのは2ステップ：まずxがどの区間に入るかを確認し、次にその区間のルールを使う。間違ったピースを選ぶと、自信満々に間違った答えが出てしまう。この関数で3つの入力を確認しよう：
f(0)：0 < 1 なので x + 1 を使う → 0 + 1 = 1。
f(2)：1 ≤ 2 < 3 なので定数 4 を使う → 4。
f(5)：5 ≥ 3 なので −x + 7 を使う → −5 + 7 = 2。
ルールを選ぶ前に境界の ≤ / < を確認しよう。ここでは f(1) = 4 であり、2ではない——x = 1 は 1 ≤ x < 3 を満たすので真ん中の区間に属すからだ。
最も有名な場合分けルールは実は身近に隠れている：絶対値だ。|x| は数が0以上のときそのまま保ち、負のときは符号を反転させる。これはまさに2ピースのルールだ：
| x | （ | x ≥ 0 のとき |
| −x | （ | x < 0 のとき |
2つのピースをグラフにするとV字になる：x ≥ 0 では半直線 y = x が右に上がり、x < 0 では半直線 y = −x が左に上がり、原点で交わる。いくつか確認してみよう：|3| = 3、|−4| = 4、|0| = 0。このV字は横にスライドできる——y = |x − 2| はまったく同じV字で、頂点が x = 2 に移動したものだ。
絶対値は最もシンプルな場合分けルール：x ≥ 0 のとき |x| = x、x < 0 のとき −x。グラフは原点でつながれたV字だ。
場合分け関数は定義域の各区間に異なるルールを使い、一つの大きな括弧でまとめる。条件は定義域全体を覆わなければならない——すべてのxがちょうど一つの区間に入り、重なりもすき間もないよう、すべての境界で ≤ と < を使い分けよう。
グラフを描くには、各ピースをその区間だけに描き、つなぎ目を決める：端点を持つピースに黒丸、除外するピースに白丸。両側が同じ高さ ⇒ 連続；異なる高さ ⇒ ジャンプ。値を求めるには、まずxが属する区間を見つけ、その区間のルールを使う。そして絶対値は最もシンプルな場合分け関数だ：x ≥ 0 のとき |x| = x、x < 0 のとき −x——原点で交わるV字。次の21.7では、一次関数のすべてのアイデアを実際の場面に活かしていく。
f(−1)：−1 < 1 なので x + 1 を使う → −1 + 1 = 0。f(2)：1 ≤ 2 < 3 なので定数区間 → 4。f(4)：4 ≥ 3 なので −x + 7 → −4 + 7 = 3。
ある。左のピース x + 1 は 2 に近づく（x < 1 は1に達しないので白丸）；真ん中のピースは 4 を与える（1 ≤ x が持つので黒丸）。高さ2と4が異なるのでジャンプ——2に白丸、4に黒丸。
|x| = { x（x ≥ 0 のとき）; −x（x < 0 のとき）}。xが0以上ならそのまま；負なら符号を反転させて出力を0以上にする。
|−7| = 7（−7 < 0 なので符号を反転）。|6 − 10| は中を先に計算：6 − 10 = −4、よって |−4| = 4。
黒丸一つ。両ピースが同じ高さに到達するのでジャンプはない——グラフはそのつなぎ目で連続であり、切れ目なく通過する。
連続だ。30分直前の料金はまだ$0で、第2のルールはちょうど30分から$0で課金を始める——両ピースが同じ高さ（$0）で交わるのでジャンプはない。（グラフが水平から上昇に曲がる「折れ」はあるが、切れ目はない。）
6問で理解を定着させよう。正しいと思う答えをタップしてみて。
このレッスンは、一次関数に慣れた次のステップとして場合分け関数を紹介する：途中で切り替わるルールは、定義域の各区間に別の式が必要だ。CCSS F-IF.C.7b（場合分け関数・絶対値関数のグラフ）、F-IF.A.2（場合分け関数も含む関数の値を求める）、6.NS.C.7c（絶対値と大きさ）に向けて積み上げていく。
防ぎたい3つの誤解：(1) 境界で間違ったピースを選ぶ——ルールを選ぶ前に ≤ と < を読ませよう。「x = 1 は 1 ≤ x を満たすから真ん中の区間が持つ」と声に出して確認させると効果的。(2) 区間だけでなく直線全体を描いてしまう——各ピースは自分の区間にクリップされた線分か半直線だ。(3) ジャンプで白丸にすべき点を黒丸にしてしまう——白丸はピースが近づくが決して到達しない高さを示す。2つのインタラクティブな図で、学習者はxをつなぎ目を越えて動かしながら、アクティブなピース・点の種類・計算値が一緒に更新されるのを観察できる——「まず区間を見つけ、そのルールを使う」という習慣を築く最善の方法だ。