運賃・距離・料金プラン・最適化・データの当てはめ——グラフを直線にする「一定の変化率」のはたらきを探る。
Stage 21 の学びがここで実を結ぶ。出発値と一定の変化率をもつ現実場面は、そのまま一次関数 y = kx + b だ——モデルを立てグラフを描き、データから式を復元し、別の直線と比べる、これらすべてが実用ツールになる。このレッスンでは、費用をモデル化し、距離グラフから速さを読み取り、2つのプランの損益分岐点を求め、閉区間での最適値を探し、測定値に直線を当てはめて予測する。そして、すべての一次モデルに共通する一点——一定の変化率がまっすぐなグラフを生む——を確認し、変化率自体が変わるとどうなるかを考える。その穏やかな「曲がり」が次のステージへの扉だ。
日常の変化には、たいてい2つの要素がある：どこから始まるかとどのくらいの速さで変わるか。この2つを決めれば、一次関数はひとりでに書ける。固定された出発値はy切片 b（x = 0 のときの出力）になり、1単位あたりの変化量が傾き k（入力が1増えるごとに出力が動く量）になる。これを21.2で学んだ一次関数 y = kx + b としてまとめよう。
例として、ジムを考えよう：入会金$20、その後1回$5。$20は1回も行く前にかかる——これが出発値 b = 20。毎回$5が加わる——これが変化率 k = 5。だからv回通った後の費用は cost = 5v + 20。v = 0 で費用は$20（入会金）；v = 4 では 5·4 + 20 = $40。
変化率は負にもなる。8 L 入った水タンクから毎分2 L ずつ流れ出るなら：出発値 b = 8、変化率 k = −2（毎分2 L 減る）なので、t 分後の水量は V = −2t + 8 ——t = 4 分でゼロになる下がり直線だ。
固定された出発値＋一定の変化率は一次モデル y = kx + b：出発値が b、変化率が k。k が正なら上がり、負なら下がる。
一定の速さで動くものが移動した距離は、時間と歩調を合わせて増える。距離 = 速さ × 時間なので d = (速さ)·t ——原点を通る比例（t = 0 h のとき 0 km から出発）。ここでは b = 0 で、速さが傾き k の役を果たす。
時速50 km の車は d = 50t と表せる。傾きは 50：横1 h 進むたびに縦50 km 上がる。逆に読めば、距離–時間グラフの直線の傾きがそのまま速さ——急な直線ほど速い。t = 3 h では d = 50·3 = 150 km；t = 1 h では d = 50 km。
距離–時間グラフでは、傾きが速さ：縦（km）÷ 横（h）= km/h。直線が急なほど速い。
2つのプランをそれぞれ1本の直線で同じ座標平面に描けば、「どちらがお得？」が一目でわかる。2直線が交わる点——21.5で連立方程式を解いて求めた交点——が損益分岐点で、2つのプランの費用がちょうど等しくなる入力値だ。その交点の両側では、下側の直線が安いプランになる。
冒頭の2プランで考えよう。プランA：2x + 10（基本料$10、1単位$2）とプランB：4x（1単位$4、基本料なし）。費用が等しくなるのは 2x + 10 = 4x → 10 = 2x → x = 5 のとき、どちらも 4·5 = $20 ——これが損益分岐点 (5, 20)。5単位未満ではBが下側なのでBが安く、5単位超ではAが下側なのでAが安い。Aの高い基本料は、十分な単位を購入してはじめて元が取れる。
損益分岐点は2直線の交点。その両側では下側の直線が安いプラン。交点で乗り換えよう。
直線は曲がらない。ずっと同じ変化率で上がり（あるいは下がり）続けるので、閉区間 [x₁, x₂] での最大値と最小値は必ず2つの端点のどちらかにある——決して内側には来ない。k > 0 なら右端が最大、左端が最小；k < 0 なら逆になる。
たとえば、ある日の利益が y = −2x + 10（百ドル単位）で、x が [1, 4] に制限されているとしよう。k = −2 < 0 なので直線は下がる：左端 x = 1 → −2·1 + 10 = 8 が最大、右端 x = 4 → −2·4 + 10 = 2 が最小。[1, 4] で最大は8（x = 1）、最小は2（x = 4）——どちらも端点で、他のすべての値はその間に収まる。内側を調べる必要はない。
閉区間上で、一次関数の最大値・最小値は端点に現れる。x₁ と x₂ だけ確かめればよい——直線に山も谷もない。
測定値には式がついてこない。でも、データが（ほぼ）直線状に並んでいるならモデルを復元できる：信頼できる2点を選び、21.4で学んだ未定係数法で k と b を求めれば、直線は測定していない値まで予測してくれる。
バネに分銅を下げて長さを記録しよう。2 kg で 16 cm；5 kg で 25 cm。まず傾き：k = 25 − 165 − 2 = 93 = 3 cm/kg。次に切片：b = 16 − 3·2 = 10 cm（0 kg のときのバネの自然長）。よって length = 3·(mass) + 10。4 kg を予測：3·4 + 10 = 22 cm——4 kgの分銅を実際にかけなくても答えが出る。
傾向線上に本当に乗っている2点を選ぼう——外れた1点が傾きを狂わせる。実データでは、まず目でベストフィット線を引き、その線上のきれいな2点を読み取ること。
一歩引いて見ると共通点が見えてくる：すべての一次モデルは一定の変化率で変わる——だからこそグラフがまっすぐになる。x の等しいステップは y の等しいステップを生む——1回$5、時速50 km、1 kgあたり3 cm——だから点は一本の直線上に並ぶ。
でも、増え方自体が変わったらどうなるだろう？ 各単位が前より少なく増えていくとすると、y のステップはもはや等しくなく、点は直線上に並べず、グラフは曲がる。これはまったく新しい関数の仲間だ。次のステージでは反比例関数 y = k∕x と出会う——変化率が一定でないため、グラフは直線でなく滑らかな曲線になる。ここで習得した直線は、あらゆる曲線を測る静かな基準線だ。
グラフがまっすぐなのは変化率が一定だから。変化率自体が変わると、グラフは曲がる——それが次のステージの曲線（y = k∕x）の始まりだ。
固定された出発値と一定の変化率をもつ現実場面は一次モデル y = kx + b で、Stage 21 のすべての道具がそこに生きる：
あるジムは入会金$20＋1回$5。通った回数 v の関数として費用 c を表し、6回通ったときの費用を求めよ。
出発値 b = 20、変化率 k = 5：c = 5v + 20。v = 6 のとき：c = 5·6 + 20 = $50。
ある車が d = 60t（d は km、t は h）で走っている。速さはいくらか、また4時間で何 km 進むか。
傾きが速さ：60 km/h。4 h では：d = 60·4 = 240 km。
プランAは x 単位で 2x + 10 ドル、プランBは 4x ドル。何単位で費用が同じになるか、また8単位ではどちらが安いか。
等しいとおく：2x + 10 = 4x → 10 = 2x → x = 5 単位（どちらも$20）。8単位（5より多い）ではAが下側：A = 2·8 + 10 = $26、B = 4·8 = $32 なので Aが安い。
区間 [0, 3] における y = −3x + 12 の最大値と最小値を求めよ。
直線の極値は端点にある。k = −3 < 0 なので下がり：最大は左端 x = 0 → y = 12；最小は右端 x = 3 → −9 + 12 = 3。
2 kg の分銅でバネの長さが16 cm、5 kg で25 cm。長さのモデルを求め、4 kg のときの長さを予測せよ。
まず傾き：k = (25 − 16)/(5 − 2) = 9/3 = 3 cm/kg。次に b = 16 − 3·2 = 10 cm。モデル：length = 3m + 10。m = 4 のとき：3·4 + 10 = 22 cm。
なぜ一定速度の距離–時間グラフは直線になるのか説明せよ。
変化率——速さ——が一定なので、時間の等しいステップは常に距離の等しいステップを生む。x の等しいステップが y の等しいステップを生むことがまさに直線を描く；変化率が変われば、グラフは曲がる。
6問で理解を固めよう。正しいと思う答えをタップしてね。
このレッスンは Stage 21 の集大成です：一次関数 y = kx + b が抽象でなく実用ツールであることを示します。中心となる動きは、場面から2つのパラメータ——初期値（b）と変化率（k）——を読み取り、グラフに仕事をさせること：損益分岐点は交点、「最安プラン」は下側の直線、区間の最適値は端点、予測は当てはめた直線上の点です。式を書く前に出発値と変化率を声に出して名前をつけるよう促してください。
よくある誤解として、k と b の役割を混同すること（ジムを cost = 20v + 5 と書く）、閉区間の内側に最大値があると思うこと（直線の極値は端点のみ——直線は山を作らない）、損益分岐点を過ぎても間違った直線を「安い」と読むことが挙げられます。最後の節では種をまきます：まっすぐなグラフは一定の変化率を意味し、変わる変化率は曲線を強いる——Stage 22 の反比例への橋です。
Common Core： F-LE.A.1–2、F-LE.B.5（一次モデルを構築し、変化率と初期値をパラメータとして解釈する）、8.F.B.4–5（線形関係を構築し定性的に記述する）、8.EE.C.8c / A-REI.C（連立方程式で現実問題を解く——損益分岐点）。