直線はレンズだ：x軸との交点が方程式を解き、軸の上下が不等式を解き、2本の交点が連立方程式を解く。
解くこととグラフを描くことは、同じ物事を二つの視点から見ているにすぎない。一次関数 y = kx + b のグラフは、あらゆる代数の問いを図の中の場所に変える。「kx + b = 0 を解け」は「直線がx軸と交わる場所を探せ」になる。「kx + b > 0 を解け」は「直線が軸より上にある場所を探せ」になる。二つの方程式の連立は「二本の直線が交わる場所を探せ」になり、「どちらの式が大きいか」は「どちらの直線が高い位置にあるか」になる。このレッスンでは方程式と不等式を直線に結びつけ、数と図形を行き来する核心を学ぶ。
任意の一次関数 y = kx + b を選んで、最も基本的な代数の問いを立てよう：y が 0 になる x はどれか？ グラフ上では「y = 0」とはx軸上の点を意味する——そして直線はx軸とちょうど一か所で交わる。それがx切片だ。そこでの x こそ kx + b = 0 を満たす値である。交点を読むことが方程式を解くことだ。
その交点がどこにあるかはすでに知っている：y = 0 とおくと 0 = kx + b となり、x = −b∕k が得られる——21.2 で導いたx切片の公式そのものだ。例として y = 2x − 4 を取ろう。その直線はx軸と (2, 0) で交わり、実際に 2·2 − 4 = 0 が成り立つ——つまり 2x − 4 = 0 の解は x = 2 だ。紙の上で式を変形する必要はない：図が答えを直接教えてくれる。
kx + b = 0 を解くことは、y = kx + b のグラフがx軸を切る場所を見つけることと同じだ。そのx値は x = −b∕k。
直線から方程式を読み取れれば、不等式は自然についてくる。直線上の点の高さは y = kx + b だ。直線がx軸より上を走る部分では高さが正、つまり kx + b > 0 が成り立つ。下に沈む部分では高さが負、つまり kx + b < 0 だ。x切片が二つの領域の境界であり、高さがちょうど 0 になる唯一の場所だ。
どちら側がどちらかは傾きによって決まる。k > 0 のとき直線は左から右へ登るので、交点より右側で軸より上、左側で下になる：2x − 4 > 0 ⇔ x > 2、2x − 4 < 0 ⇔ x < 2。k < 0 のとき直線は下がるので、「上」の側は逆に左になる——方向が逆転する。図から読み取れば、方向を間違えることはない。
不等式の向きはk < 0 のとき逆転する。−2x + 4 > 0 を解くと x < 2 になり、x > 2 ではない——下がる直線は左側で軸より上にあるからだ。迷ったときは、描いた直線が軸より上にある部分を確認しよう。
今度は一つの座標平面に二本の直線を置こう。直線A上の点はAの方程式を満たし、直線B上の点はBの方程式を満たす。両方の直線上にある点は両方の方程式を同時に満たす——これがまさに二つの方程式の連立を解くということだ。つまり y = k₁x + b₁ と y = k₂x + b₂ の交点が連立方程式の解である。
y = 2x − 1 と y = −x + 5 を例にとろう。両者は (2, 3) で交わる——確かに両方の方程式で確認できる：2·2 − 1 = 3、−2 + 5 = 3。もし二本の直線が同じ傾き（k₁ = k₂）を持つ場合、それらは平行となり決して交わらない——21.3 で傾きから読み取った平行か交わるかの判定そのものだ——よって連立方程式は解なしとなる。
二本の直線が共有する一点は、二つの方程式が共有する一つの解だ。平行な直線（傾きが等しい）は共有点を持たないので、連立方程式は解なしとなる。
「一方の式がもう一方より大きい」を解くには、両方を直線として描き、どちらが高いかを問えばよい。あるxでは高い方の点が大きな値を持つので、直線Aが直線Bより上にある部分がまさに k₁x + b₁ > k₂x + b₂ が成り立つ範囲だ。二本の直線はちょうど交点で上下が入れ替わるので、交点がx軸を「Aが高い」区間と「Bが高い」区間に分ける。
2x − 1 > −x + 5 をこの方法で解こう。直線は x = 2 で交わる。その右側では傾きが急な y = 2x − 1 が上にあるので、答えは x > 2 だ。代数でも確認できる：2x − 1 > −x + 5 → 3x > 6 → x > 2。図と代数は同じ物語を語る。
二本の直線の交点がx軸を「Aが高い」と「Bが高い」に分ける。A > B を解くには、直線Aが上にある区間をとればよい。
このレッスンのすべての問いはグラフ上の場所になった。以下の表が全体の対応をまとめたものだ——このステージ全体が目指してきた統一の図だ。解くとはグラフ上の場所を見つけることだ。
| 代数 | 直線のグラフ上で |
|---|---|
| kx + b = 0 | 直線がx軸と交わる場所 — x切片 |
| kx + b > 0 | 直線がx軸より上にある場所 |
| kx + b < 0 | 直線がx軸より下にある場所 |
| 二つの方程式の連立 | 二本の直線が交わる場所（平行 → 解なし） |
| A > B | 直線AがBより高い場所 |
y = kx + b から作られた方程式や不等式に出会ったら、「これは図の上で何を意味するか？」と問おう。解は単なる数ではない——それは交点であり、軸のどちら側かであり、一方の直線がもう一方を上回る区間だ。
y = kx + b のグラフは代数を幾何に変えるレンズだ：
y = 3x − 6 のx切片を求めることで 3x − 6 = 0 を解け。
y = 0 とおくと：0 = 3x − 6 → x = 2。直線はx軸を (2, 0) で切るので、解は x = 2。
同じグラフを使って 3x − 6 > 0 を解け。
k = 3 > 0 なので直線は右上がりで、x = 2 の交点より右側でx軸より上にある。よって x > 2。
y = −2x + 4 のグラフから −2x + 4 ≥ 0 を解け。
x切片は −2x + 4 = 0 → x = 2。しかし k = −2 < 0 なので直線は下がり、左側でx軸より上になる——向きが逆転する。よって x ≤ 2（不等式が「≥ 0」なので境界点を含む）。
直線 y = x + 1 と y = −x + 5 はどこで交わるか、またその交点はどんな連立方程式を解いているか。
等しいとおくと：x + 1 = −x + 5 → 2x = 4 → x = 2、次に y = 2 + 1 = 3。交点は (2, 3) で、これが連立方程式 y = x + 1, y = −x + 5 の解。
x + 1 > −x + 5 が成り立つ x はどれか？
直線は x = 2 で交わる。右側では右上がりの直線 y = x + 1 が上にあるので、答えは x > 2。（代数で確認：x + 1 > −x + 5 → 2x > 4 → x > 2。）
連立方程式 y = 2x + 3、y = 2x − 1 は解を持つか。理由も説明せよ。
持たない。両方の直線の傾きが 2 で等しいので平行であり、決して交わらない——両方の直線上にある点は存在しないので解なし。（代数：2x + 3 = 2x − 1 → 3 = −1、矛盾。）
6問で理解を固めよう。正しいと思う答えをタップして。
中心となる考え方。このレッスンはステージの要石だ：方程式・不等式・連立方程式を一枚の絵——直線のグラフ——のもとに統一する。あらゆる代数の問いが幾何の読み取りになる。「kx + b = 0 を解け」は「x切片を探せ」、「kx + b > 0 を解け」は「直線が軸より上の場所を探せ」、「連立を解け」は「二本の直線が交わる場所を探せ」、「どちらが大きいか」は「どちらの直線が高いか」だ。学習者が規則を暗記するのではなく、各代数の課題に対して図の言葉で説明できるよう促してほしい。ここからステージは場合分け関数（21.6）へ進む——一つのグラフが複数の直線を繋ぎ合わせ、それぞれが自分のx区間を受け持つ。
よくある誤解。最も多いミスはk < 0 のとき不等式の向きを逆転させ忘れることだ：2x − 4 > 0 でも −2x + 4 > 0 でも反射的に x > 2 と答えてしまう。解決策は図を読むこと——下がる直線は左側で軸より上にある。もう二つの落とし穴：すべての連立方程式に解があると思い込むこと（平行な直線には解がない）、そしてx切片を問われているのにy切片を読んでしまうこと（方程式 kx + b = 0 はy = 0、つまりx軸上にある）。
Common Core との対応。このレッスンは 8.EE.C.8（グラフで連立を解く；交点が解；平行⇒解なし）、A-REI.D.10–12（方程式のグラフはその解集合；不等式と連立をグラフで解く）、および 6.EE.B.5 / F-IF.C.7a（グラフから解を見つけて解釈する）を扱う。