y = x² を y = xᵅ へと一般化する — 偶数・奇数の指数、定義域と対称性 — そして次のステージへの扉。
放物線 y = x² は、実ははるかに大きなファミリーのたった一員に過ぎなかった。底 x はそのままに、指数 を任意の定数 α に替えると、べき関数ファミリー y = xα が一挙に現れる：直線 x、放物線 x²、S字形 x³、平方根 √x = x½、そして逆数 1/x = x−1。同じ座標軸に並べて描くと、指数が偶数か奇数か、どの範囲で定義されるか、どちらに向かって上がるか——そういったパターンが一目で読み取れる。そして、これらは次のステージへの静かな扉を開く。次では底が固定されて指数が動き始める。
y = x² について学んだことは、実はたった一つの指数、つまり 2 という数についての話だった。グラフが放物線（お椀の形）になるのは、ルールが入力を二乗するからだ。しかし、指数が 2 でなければならない理由はどこにもない。それを任意の定数 α に置き換えると、まったく新しいルールが生まれる：
べき関数とは y = xα の形をした関数で、底 x が変数、α は固定された定数（指数）である。放物線 y = x² は α = 2 の場合。α の値を変えると他のメンバーが現れる：
α = 1 → y = x（直線） · α = 2 → y = x²（放物線） · α = 3 → y = x³（S字） · α = ½ → y = √x（平方根） · α = −1 → y = 1/x（逆数）。
ステージ 20 で学んだ仕組みと同じだ：x を入れると、ただひとつの y が出てくる、y = f(x)。メンバーごとに変わるのは指数だけ——そしてこれから見ていくように、その一つの数がグラフのすべてを決める。
ファミリーを理解する一番の近道は、最もよく使われる 5 つのメンバーと直接対面することだ。以下で一つずつ確認して、それぞれがどんな振る舞いをするか観察しよう——とくにx 軸の一部を拒む二つのメンバーに注目。
2 つのメンバーは数直線全体では定義されない。√x は y 軸より左にはグラフが存在しない — 定義域は x ≥ 0。1/x は x = 0 に穴がある — 定義域は x ≠ 0。どちらも全体で定義されていると思い込むのがよくある間違い。
放物線 x² と S字曲線 x³ をもう一度見てみよう。放物線は y 軸について完全な鏡像になっている。S字曲線は原点を中心に半回転すると自分自身に重なる。この違いは偶然ではない——指数が偶数か奇数かだけで決まる。
偶数の指数（x²、x⁴、…）は偶関数を作る：f(−x) = f(x)。x を −x に置き換えても高さは同じなので、グラフは y 軸について対称（鏡対称）。
奇数の指数（x、x³、および 1/x = x−1）は奇関数を作る：f(−x) = −f(x)。x を −x に置き換えると高さの符号が反転するので、グラフは 原点について対称（点対称）。
理由は単純な計算だ：(−x)² = x²（マイナスが消える）、だから x² は偶関数；(−x)³ = −x³（マイナスが一つ残る）、だから x³ は奇関数。同じ論理が、すべてのべき関数に指数の偶奇性を刻みつける。
各メンバーの全体像を描くためにあと二つ問うべきことがある：どの x を受け入れるか（定義域）、そして左から右へ進むと上がるか下がるか（単調性）。いずれも指数から導かれる。ステージ 19 の区間の言葉と、ステージ 20 の増加・減少の言葉を使って整理しよう。
| べき関数 | 定義域 | 単調性（左 → 右） | 偶奇性 |
|---|---|---|---|
| y = x | すべての x、(−∞, ∞) | 常に増加 | 奇関数 |
| y = x² | すべての x、(−∞, ∞) | 減少から増加（O で最小） | 偶関数 |
| y = x³ | すべての x、(−∞, ∞) | 常に増加 | 奇関数 |
| y = √x | x ≥ 0、[0, ∞) | 増加 | どちらでもない |
| y = 1/x | x ≠ 0 | 各枝で減少 | 奇関数 |
方向が変わるのは x² だけ——O の左では下がり、底で折り返し、右では上がる。直線 x と S字曲線 x³ は一切折り返さず、どこでも上昇し続ける。また 1/x は各枝で減少しているが、「どこでも」減少しているとは言えない——x = 0 という隙間でその値が存在しないからだ。
ここがこのストランド全体が向かってきた分岐点だ。べき関数 y = xα では、底 x が変化し、指数 α は固定されている。次のファミリー——指数関数 y = ax（後のステージで学ぶ）——はちょうどその逆：底 a が固定され、指数 x が変化する。同じ 2 つの要素、役割が正反対。
値を並べて比べると対比が鮮明になる：
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x²（べき関数） | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 100 |
| 2x（指数関数） | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 1024 |
べき関数は動く底を固定された指数で累乗する：y = xα。指数関数は固定された底を動く指数で累乗する：y = ax。最初は似たようなものだが、x が大きくなると指数関数は必ずどんなべき関数をも追い越す——その成長は複利的に加速する。次のステージで最初に登場するのがこの関数だ。今は、べき関数ファミリーに出会えた；指数という一つの数から、形・対称性・定義域・増減のすべてを読み取る方法を身につけた。
ファミリー。べき関数は y = xα：変数 x の底に固定された指数 α をかける。y = x² は α = 2 の場合。
覚えるべき 5 つ。x（直線、すべての x）、x²（放物線、すべての x）、x³（S字、すべての x）、√x = x½（半放物線、x ≥ 0）、1/x = x−1（双曲線、x ≠ 0）。すべては (1, 1) を通る。
偶奇性。偶数の指数 ⇒ 偶関数、f(−x) = f(x)、y 軸について鏡対称。奇数の指数 ⇒ 奇関数、f(−x) = −f(x)、原点について点対称。
分岐点。y = xα では底が動いて指数が固定；指数関数 y = ax では底が固定で指数が動く——そして x が大きくなると、指数関数は必ず勝つ。
y = √x を y = xα の形で表したとき、指数 α はいくつか？
α = ½。平方根は ½ 乗と同じ：√x = x½。
y = x、y = x²、y = x³ のうち、奇関数はどれか？
y = x と y = x³ が奇関数：指数（1 と 3）が奇数なので f(−x) = −f(x) となり、原点について点対称。y = x² は偶関数（指数 2）で y 軸について対称。
y = 1/x では、どの x の値が許されないか？また、この関数は偶関数か奇関数か？
許されない値：x = 0（ゼロ除算はできない）。定義域は x ≠ 0。この関数は奇関数：1/x = x−1、指数 −1 は奇数、1/(−x) = −(1/x) なので原点について点対称。
x が負の値を左から右へ移動するとき、y = x² は増加するか減少するか？説明せよ。
減少する。放物線は頂点 O の左、(−∞, 0) では減少し、(0, ∞) では増加する。折り返すのは頂点のときだけ。
y = √x の定義域を区間で表せ。
x ≥ 0、すなわち区間 [0, ∞)。負の数の実数平方根は存在しないので、グラフは原点で止まり、それより左には伸びない。
x が大きくなるとき、x²（べき関数）と 2x（指数関数）のどちらが速く増加するか？二つの値で確認せよ。
2x の方が速い。x = 4 では同じ（どちらも 16）だが、x = 10 では x² = 100 に対して 2x = 1024——指数関数が大きく引き離している。大きな x では指数関数は必ずどんなべき関数をも追い越す。
6 問で理解を確かめよう。正しいと思う答えをタップ。
核心となるアイデア。このレッスンは一つの二次関数から、べき関数ファミリー y = xα 全体へとズームアウトする。すでに知っている放物線（x²）をアンカーとして使う。収穫は構造的なもの：指数 α 一つが形・定義域・対称性・単調性をすべて決める。x² と x³ を並べることで偶奇対称性を具体的・視覚的に示し、x² と 2x の対比で次のステージの指数関数への種を蒔く——意図的な「底が動く vs 指数が動く」分岐点として。
よくある誤解。（1）√x と 1/x がすべての x で定義されていると思い込む——定義域の制約（x ≥ 0 と x ≠ 0）を強調し、グラフが欠けているのは描き忘れではないことを伝える。（2）偶奇関数と偶奇数を混同する——関数の偶奇性は指数の偶奇性から来ており、(−x)α でマイナスが残るかどうかと結びついている。（3）べき関数 xα（変数の底、固定の指数）と指数関数 ax（固定の底、変数の指数）を混同する——値の表がその違いを印象的に示す。
Common Core 対応。F-IF.C.7b（平方根などの関数のグラフ描画）、F-BF.B.3 および F-IF.A（偶奇関数と対称性）、N-RN.A（有理数指数の予習、√x = x½）、F-IF.B.4–5（定義域と挙動——増加・減少・端での挙動）。