線分でやったこと——比べる・足す・引く・半分にする——を、今度は角でやってみよう。
第13.4回では、線分に一つの数（長さ）が対応していて、その数があるから算数がすべて使えると学んだ。二つの線分を比べたり、端をつないで足し算したり、一部を取って引き算したり、ちょうど半分になる中点を見つけたり。角にも同じように一つの数——度数（何度か）——が対応している。だから同じ手順がそのまま使える。二つの角を並べれば、開き方の大きい方が勝ち。一つの半直線を別の角の中に挟めば、二つの部分が加わって全体になる。そして、どんな角にも「中点」に当たるものがある——角を二つの等しい半分に切る半直線、それが二等分線だ。
二つの角のどちらが大きいか、どう調べるか？線分のときと同じトリックが使える：重ねて比べる。一方の角をもう一方の角の上にスライドさせ、頂点同士を合わせ、一方の辺をぴったり重ねる。あとはもう一方の辺がどこに来るかを見るだけ。外側に来た方の角が、開き方が大きい。
このレッスンで最も大切なこと——そして最もよく間違えること——を一つ挙げる。角の大きさは二辺の間の開き方だけで決まる——辺の長さは関係ない。ずんぐりした短い辺で描かれた広い角は、やはり広い角だ。何キロも先まで伸ばした辺で描いた鋭い角は、やはり鋭い角だ。辺の長さは飾りにすぎない。二本の半直線の「向きの違い」だけが角の本質だ。
「この角は辺が長いから大きいはず」 これは誤り。辺を長くしても角はまったく変わらない——半直線が同じ二方向にもっと遠くまで伸びるだけだ。辺の先を隠してみれば、開き方は変わっていないことがわかる。
二つの角を比べるには、頂点同士・一辺同士を合わせる。もう一方の辺が外側に来た角の方が大きい。開き方が等しければ ∠1 = ∠2 となり、等しい角には同じ本数の弧の目印をつける——線分の等しい長さに刻み目をつけるのと同じ作法だ。
辺と頂点を共有するように二つの角を隣に並べれば、度数はそのまま足せる。半直線 OB が ∠AOC の内側にあるとき、その角は二つの隣接する部分に分かれ、全体はその和になる：
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
逆に読めば、引き算になる。全体と一方の部分がわかれば、もう一方は差で求まる：∠AOB = ∠AOC − ∠BOC。これは第13.4回の線分の規則 AC = AB + BC そのもの——「長さ」の代わりに「開き方」が入っただけだ。
ドアが 35° 開き、さらに 20° 押した。閉じた位置から合計 35° + 20° = 55° 回転したことになる。逆に、ドアが 55° 開いていて、二回目の押しが 20° とわかれば、最初の押しは 55° − 20° = 35° だ。
線分の中点はそれを二等分する。角にもまったく同じものがある——ただし「切れ目」は点ではなく半直線だ。∠AOB の角の二等分線とは、頂点から出て角を二つの等しい角に分ける半直線 OC のことだ：
∠AOC = ∠COB = 12∠AOB
「二等分する（bisect）」とは「二つの等しい部分に切る」こと（bi = 二つ）。二つの半分が等しいので、それぞれの弧に同じ一本の目印をつける——角版の等しい長さの刻み目だ。下のスライダーで角を開いてみよう。二等分線は常にちょうど真ん中に来て、二つの半分は等しいままだ。
OC が ∠AOB を二等分するなら、各半分は ½∠AOB。二通りに読める：半分にする——全体が 70° なら各半分は 35°；倍にする——一方の半分が 25° なら全体は 50°。
分度器を使わなくても、コンパスと定規だけで二等分線を正確に引ける。これは幾何学で最も古い作図のひとつで、驚くほどシンプルだ。図の四つのステップを追ってみよう：
なぜうまくいくのか？P と Q は O から等距離（同じ弧）、R は P と Q から等距離（等しい弧）だ。この対称性が半直線 OR を開き方のちょうど半分に固定する。Stage 14 で厳密に証明するが、今は対称性を信じて、測定なしで作図できることを楽しもう。
角をコピーする（別の半直線に移す）作業も、まったく同じコンパス操作で行える——弧で開き方を写し取り、新しい半直線に移すだけ。比べる・足す・コピーするのどれも、分度器なしにコンパスと定規でできる。
一歩引いて、第13.4回と第13.6回の全体を見渡してみよう。線分で学んだ一つひとつの操作は、角でも対応する操作がある。対象は違う——一方は長さを、もう一方は開き方を測る——でも動きは一対一で対応している：
| 線分 （長さ） | 角 （開き方） | |
|---|---|---|
| 測定値 | 長さ AB | 大きさ ∠AOB |
| 比べる | AB > = < CD | ∠1 > = < ∠2 |
| 足す | AC = AB + BC | ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC |
| 引く | AB = AC − BC | ∠AOB = ∠AOC − ∠BOC |
| 半分にする | 中点 M: AM = MB | 二等分線 OC: ∠AOC = ∠COB |
これから先に持ち帰る大事なアイデア：
二つの角が描かれている。一つ目は 40° だが辺がとても長い。二つ目は 55° だが辺が短くてずんぐりしている。どちらの角が大きいか？
55° の角。辺の長さは無関係——開き方だけが大切で、55° > 40°。
半直線 OB が ∠AOC の内側にある。∠AOC = 80°、∠AOB = 50° のとき、∠BOC を求めよ。
∠BOC = ∠AOC − ∠AOB = 80° − 50° = 30°。
半直線 OC が ∠AOB を二等分し、∠AOB = 70° のとき、∠AOC を求めよ。
二等分線は角を半分にする：∠AOC = ½ × 70° = 35°。
ある角の辺を二倍の長さに描き直した（頂点と向きはそのまま）。角の大きさは変わるか？
変わらない。半直線は同じ二方向を向いたまま——開き方、つまり大きさは変わらない。辺を長くしても何も変わらない。
半直線 OM が ∠AOB を二等分している。一方の半分 ∠AOM が 25° のとき、∠AOB はいくらか？
二等分線は二つの等しい半分を作るので、全体は一方の半分の二倍：∠AOB = 2 × 25° = 50°。
コンパスと定規による二等分の作図で、頂点からの弧が両辺と P、Q で交わり、P と Q からの等しい弧が R で交わる。なぜ半直線 OR が二等分線になるのか？
OP = OQ（同じ弧）、RP = RQ（等しい弧）より、図形は OR について対称だ。その鏡面対称性が角の二つの半分を等しくするので、OR が二等分線となる。
6問で理解を固めよう。正しいと思う答えをタップして。
このレッスンは意図的に線分の算数（13.4）の鏡像として作られている。学習上の利点は概念の節約にある——「比べる・足す・引く・二等分する」を線分で一度内化した生徒は、ここでは本質的に新しいことは何もなく、新しい対象があるだけだ。この対比を声に出して確認すること——中点 ↔ 二等分線、AC = AB + BC ↔ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC——それ自体が授業の核心だ。
最も多い誤りは、辺が長く描かれると角が大きくなると思い込むことだ。意図的に引き出す価値がある：小さくて広い角と、大きくて鋭い角を描いてどちらが大きいか問う。「辺ではなく開き方」と生徒に言わせよう。インタラクティブな二等分図と比較図は、これを見えるようにするために作られている。
Common Core との対応。4.MD.C.5–7（角を回転として捉え、角度を加法的に扱う：半直線が角を分けるとき部分の和が全体になる）を基盤とし、7.G.A.2 および HS G-CO.A.1 / G-CO.D.12（精密な定義とコンパス・定規による作図、角の二等分を含む）へとつながる。