比較・加算・減算・分割 — 数でやってきた操作が、今度は「長さ」で活きる。
線分とは、両端を持つ有限の直線の一部 — 直線全体と違い、一つの数を持っている：それが長さだ。図形に数が付いた瞬間、すでに知っている算数が一気によみがえる。2本の線分を比べ、1本をコピーし、足して端をつなぎ、一部を引いて、きれいに半分に切り、いくつでも等しく分ける — これらすべてができる。前の3つのレッスンで「点・直線・面・立体」の話をして線分にたどり着いた。このレッスンでは線分を計測し計算する方法を学ぶ。
2本の線分のどちらが長いかを知るには？正直に使える2つの方法がある。どちらも一生使い続けるものだ。
両方を測る。それぞれの線分を定規に当て、同じ単位で長さを読み取り、数を比べる。AB = 6 cm、CD = 4 cm なら AB > CD。長さはただの数であり、数には比べ方がある。
あるいは、片方をもう片方に重ねる。端点 A を端点 C にぴったり合わせて、2本の線分を同じ方向に並べる。あとは遠い方の端だけを見ればいい。遠い端がより先まで伸びているほうが長い。この方法は定規の目盛りをまったく必要としない — コンパスが次の節で使うアイデアと同じだ。
長さを比べることは数を比べることだ。端点の一方を揃えてもう一方の端を見る — または単に測る。どちらにせよ、AB > CD、AB = CD、AB < CD のうちちょうど1つが成り立つ。
AB とまったく同じ長さの別の線分が欲しいが、定規の目盛りを読んではいけないとしよう。コンパスが完璧にこれをやってくれる。コンパスの2点を A と B に当てて開く — これでコンパスは AB の長さを「凍りつかせた」状態だ。新しい点 A′ から半直線を引き、コンパスの針を A′ に置いて弧を描き、半直線との交点を B′ と呼ぶ。開き幅を変えていないので、A′B′ = AB が成り立つ。
2本の線分に引かれた1本の刻み記号は、同じ長さであることを示す。コンパスの開き幅を変えていないため、コピーした線分には必ず元の線分と同じ記号が付く。幾何学ではこの刻み記号を常に使う。
1本の線分をもう1本の直後に、端と端を揃えて直線上に並べると、長さはそのまま足し算になる。B が直線上で A と C の間にあるなら、
AC = AB + BC.
逆に読めば引き算になる：全体から BC を切り取ると残るのは AB = AC − BC だ。これはまさに数で学んだ「部分 + 部分 = 全体」と同じ — ただし今は部分が端をつなげた長さだ。
きれいな等式 AC = AB + BC が成り立つには、B が直線上で A と C の間にある必要がある。B が横にずれていると、3つの長さはこのようには足し算にならない。
線分上に、2つの等しい半分に分ける特別な点が1つある。それを中点という。点 M が AB の中点であるとは、次の条件が成り立つときだ。
AM = MB = 12AB.
下の M をスライドさせて、左の部分と右の部分がまったく等しくなる1点を探そう。それ以外の場所ではどちらかが長い — 中点でだけ、2つの刻み記号がついにぴったり揃う。
中点は線分のちょうど真ん中：AM = MB = ½AB。全体がわかれば各半分はその半分、半分がわかれば全体は2倍の長さになる。（角度版のこの点 — 二等分線 — はレッスン 13.6 で登場する。）
中点は線分を2等分した。なぜ2つで止まるのか？等間隔に2回切れば3等分（切り点を三等分点という）、3回切れば4等分、一般に k 等分には k − 1 個の内部点が必要だ。1つの部分の長さは次のとおり。
各部分 = AB ÷ k。
これは直線上で表した割り算だ。12単位の線分を 3 等分すると、各部分は 12 ÷ 3 = 4 単位になる。（定規を使わずにコンパスと定規でこれを完璧に行う方法は少し後で出てくる。ここでは等分割が何を意味するかだけを見る。）
線分はたった一つの数 — 長さ — を持ち、その数が算数のすべてを解き放つ：
| 操作 | 意味 |
|---|---|
| 比較 | 一端を揃えるか測る：AB > = < CD |
| コピー | コンパスが A′B′ = AB を与える（同じ記号） |
| 加算 | AC = AB + BC（B は A と C の間） |
| 減算 | AB = AC − BC |
| 二等分 | 中点 M：AM = MB = ½AB |
| 等分割 | k 等分、各部分 = AB ÷ k |
この表を頭に入れておこう。レッスン 13.6 では、これら全ての操作 — 比較・加算・減算・二等分 — が今度は角度で再登場するのを見ることになる。
PQ = 9 cm、RS = 9 cm。2本の線分を比べよ。
PQ = RS — 同じ長さなので、2つの線分は等しい。
直線上で B は A と C の間にある。AC = 12、AB = 7 のとき、BC を求めよ。
BC = AC − AB = 12 − 7 = 5。
M は AB の中点で、AB = 14 cm。AM を求めよ。
AM = ½ AB = ½ × 14 = 7 cm（MB = 7 cm も成り立つ）。
コンパスの開き幅を変えずに線分 AB を半直線にコピーして A′B′ を得た。A′B′ と AB の関係を述べ、その理由を説明せよ。
A′B′ = AB。コンパスの開き幅はちょうど AB の長さに合わせたまま変えなかったので、コピーした長さは元と等しくなければならない — だから両方に同じ刻み記号が付く。
15 cm の線分を3等分した。各部分の長さはいくらか。
各部分 = 15 ÷ 3 = 5 cm。（2つの切り点が三等分点である。）
点 P は AB 上にあり、AP = ⅓ AB。P はどこにあるか、また PB は AP と比べてどうか。
P は A に近い三等分点 — A から B までの3分の1の位置。PB = ⅔ AB なので、PB は AP の2倍の長さになる。
6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップ。
線分は数が付いた最初の図形であり、その数は生徒がすでに知っている数とまったく同じように振る舞う。つまりこのレッスンは算数が形を変えたものだ：比較は数の比較、「AC = AB + BC」は部分の足し算、中点は半分にすること、等分割はふつうの割り算。この操作に今名前を付けておくことで、13.5〜13.6 の角度版が新しく感じずに親しみやすくなる。
「AC = AB + BC」は B が直線上で A と C の間にあるときだけ成り立つ — 「間にある」という条件が本質的に重要だ。直線上にない場合、3つの長さは三角形を作り等式は成立しない（実際は2辺の和が1辺を超える）。「+」が自動的に成り立つと思われないよう、そのケースを一度描いてみる価値がある。
Common Core: 7.G.A.2（定規とコンパスを使った図形の作図）および高校の合同単元 HSG-CO.D.12（線分のコピー・コンパスと定規による線分の二等分）の基礎となる計測・作図の素地を培う。中点と等分割のアイデアは後の学年の座標幾何学にも役立つ。