直角を完成させる二つの角、直線を完成させる二つの角——そして角度で方向を指し示す方法。
角の組み合わせには、まるで決まった相手がいるものがある。二つの角を並べると、ぴったり正方形のコーナーに収まることがある——ちょうど90°の直角だ。またあるときは、二つがのびやかに開いて一本の直線を作る——ちょうど180°になる。数学者はこの二つの組み合わせに名前をつけた。幾何学でずっと使うことになる名前、余角と補角だ。そして、回転を名前のついた部分に分けられるようになると、実用的なことができる。船乗りやパイロットは、北から測った角度で方向を表す——それを方位角という。この三つのアイデアで、私たちの最初の図形の段階を締めくくろう。
正方形のコーナーを思い浮かべよう——13.5で出会った直角で、小さな正方形マークがついている。そのコーナーを一本の半直線で切ってみよう。一つの90°の角が二つの小さな角に分かれ、切る位置がどこであっても、その二つの部分を合わせると必ず元のコーナーに戻る。
和が90°になる二つの角を余角という。それぞれがもう一方の余角である。∠1が35°なら、その余角は90° − 35° = 55°；二つを合わせると直角が復元される。
余角 ⇒ 二つの角の和が90°。一方の余角を求めるには、90から引く：θの余角 = 90° − θ（90°より小さい角だけが余角を持つ）。
このモードでは、二つの角は常に直角を満たす。∠1が大きくなると、∠2 = 90 − ∠1が縮んで合わせる。
スライダーをちょうど45°に合わせてみよう。すると∠2 = 90 − 45 = 45°——自分自身の余角になる角。こうなる角はただ一つだ。
今度はコーナーを外側の二辺が一直線になるまで開いてみよう。その全体の開きは直線角、ちょうど180°だ（これも13.5から）。それを半直線で切ると、また二つの部分ができて、合わせると全体に戻る——ただし全体は今度は180°だ。
和が180°になる二つの角を補角という；それぞれがもう一方の補角だ。110°の補角は180° − 110° = 70°。上のウィジェットを補角モードに切り替えて、∠1を0〜180の全範囲でスライドさせて感じてみよう。
余角 → 90°。「余」は「余る」——直角の残りを完成させる。補角 → 180°；直線の残りを「補う」と覚えよう。アルファベットでも：Complements（余角）→ 90、Supplements（補角）→ 180、CはSより先にくる。
| 余角 | 補角 | |
|---|---|---|
| 和 | 90° | 180° |
| 完成する… | 直角（コーナー） | 直線角（直線） |
| もう一方を求める | 90° − θ | 180° − θ |
| 自分自身と等しくなるとき | θ = 45° | θ = 90° |
二つの組み合わせを並べて比べよう。
小さいけれど使い道の多い事実を一つ。∠1と∠2という二つの異なる角が、同じ角∠αの余角であるとしよう。∠1と∠2について何が言えるだろうか？
∠1 + ∠α = 90° だから ∠1 = 90° − ∠α
∠2 + ∠α = 90° だから ∠2 = 90° − ∠α
∴ ∠1 = ∠2
両方が同じ量90° − ∠αに等しいから、互いに等しい。言葉でいえば：
二つの角が同じ角の余角（または等しい角の余角）であれば、その二角は等しい。同じ論理が補角にも成り立つ：同じ角の補角は互いに等しい。
これは次のステージで出会う多くの証明を支える仕組みだ。二直線が交わるとき、対応する角は同じ角の補角になる——だからそれらは等しい。この一行の推論が、Stage 14で有名な対頂角の定理を証明する方法だ。今のうちにしっかり覚えよう：等余角（または等補角）は互いに等しい。
角度は何かを指し示すとすぐに実用的になる。方位角は、南北線からどれだけ離れているかで方向を表す。N30°Eという形は「北に向いて、30°だけ東に回転する」という意味だ。S40°Wは「南に向いて、40°西に回転する」を意味する。
方位角には常に三つの要素がある：基準方位（NまたはS、より近い方）、角度（0°〜90°の間）、そして回転方向（EまたはW）。四つの純粋な方向はただN、E（= N90°E）、S、W（= N90°W）だ。
スライダーは北から時計回りの角度（0°）。針が各四分円を超えるたびに、読み取りがN/SとE/Wに切り替わる様子を確認しよう。
方位角の角度は南北線から測り、東西からは測らない。また必ず0°〜90°の間に収める。北から時計回りに120°の方向は「N120°E」ではない——90°を超えたら基準を南に切り替えてS60°Eとなる。
一つの小さな点がどれだけ遠くまで旅してきたか見てみよう。13.2では、動く点が直線を描き、動く直線が面を、動く面が立体を作った。私たちは直線の部分——直線・半直線・線分——に戻り、長さを測り組み合わせることを学び、角に出会って回転を測ることを覚えた。線分でやったことのすべてを角度で繰り返した：比べ、足し、引き、二等分する。今日は二つの特別な組み合わせに名前をつけた——余角（90°）と補角（180°）——そして方位角で角度を世界に向けた。
これまで角度は手作業で作ってきた。次のStage 14では、幾何学が角度を自動的に作ってくれる：二本の直線を交差させると、一気に四つの角が生まれる。二つは向かい合っていて（対頂角）、それぞれが直線を完成させる隣の角を持つ（隣接補角）。13.7.3で証明した等補角の法則が、対頂角は等しいということを一息で教えてくれる。今日名前をつけた組み合わせが、これから続くすべての歯車となる。
• 余角の和は90°；θの余角 = 90° − θ。90°未満の角だけが余角を持つ。
• 補角の和は180°；θの補角 = 180° − θ。
• 等余角・等補角：同じ角を完成させる二角は等しい。
• 方位角はN30°Eのように：NまたはSから始め、EまたはWへ0°〜90°回転する。
• 自分自身のペア：45°は自分自身の余角、90°は自分自身の補角。
各角の余角を求めよ：(a) 35° (b) 72° (c) 18°。
90°から引く。(a) 90 − 35 = 55° (b) 90 − 72 = 18° (c) 90 − 18 = 72°。(b)と(c)が互いに余角になっていることに注目。
各角の補角を求めよ：(a) 110° (b) 90° (c) 1°。
180°から引く。(a) 180 − 110 = 70° (b) 180 − 90 = 90°（自分自身の補角） (c) 180 − 1 = 179°。
二つの角は余角の関係にある。一方が62°のとき、もう一方は何度か？
余角の和は90°なので、もう一方は 90 − 62 = 28°。
∠1と∠2はいずれも40°の角の補角である。∠1とどちらが大きいか？説明せよ。
どちらでもない——二角は等しい。それぞれ 180 − 40 = 140°になる。同じ角の補角は等しい（等補角の性質）。
真北から30°東に向いた方向の方位角を書け。また、真西の方位角を答えよ。
北から東へ30°回転：N30°E。真西は北から西へ90°：N90°W（通常はただWと書く）。
自分自身の余角に等しい角と、自分自身の補角に等しい角をそれぞれ求めよ。
自分自身の余角：θ = 90 − θ ⇒ 2θ = 90 ⇒ θ = 45°。自分自身の補角：θ = 180 − θ ⇒ 2θ = 180 ⇒ θ = 90°。
6問で定着させよう。正しいと思う答えをタップしてね。
大切な考え方。余角（90°）と補角（180°）は、単なる名前のついた和です。使う操作は常に同じ引き算——90 − θまたは180 − θ——であり、ここの図はその理由を示しています：それぞれのペアが単にコーナーや直線を再構成するだけです。「もう一方の角を求める」引き算こそがスキルの全体であり、名前はそれに付随する語彙です。
注意すべき誤解。学習者はこの二つの言葉を常に混同します。物理的にアンカーしましょう：余角は正方形のコーナー（90°）を完成させ、補角は直線（180°）の残りを補います。もう一つの落とし穴は方位角です——東または西から角度を測ったり、90°を超えさせてしまったりします。角度は常に南北線から0°〜90°の間で取り、方向が真東または真西を越えたらN/Sの基準を切り替えることを徹底しましょう。
学習指導要領との対応。このレッスンはCommon Core 7.G.B.5——補角・余角・対頂角・隣接角に関する知識を使って未知の角を求める簡単な方程式を書いて解く——に対応し、高校のG-CO.Aの定義と推論も支援します。13.7.3の等余角・等補角の論証は、生徒が対頂角の合同を証明するために再利用するのと同じ推論です。